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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 05.06.2021 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Acht Läufer A,B,C,D,E,F,G,H kämpfen um drei Medaillen (Gold, Silber, Bronze).
Es wird angenommen, sie sind alle ungefähr gleich gut.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Läufer A, B, C in dieser Reihenfolge die Gold-, Silber- und die Bronzemedaille erhalten?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einem Tipp der drei Erstplatzierten zwar die richtigen drei Läufer benennt, aber in der falschen Reihenfolge? |
Moin Moin,
a) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge wichtig ist.
Die Anzahl der möglichen Kombinationen berechnet sich daher nach der Formel:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm]
= [mm] \bruch{8!}{(8-3)!} [/mm] = 336
Die Wahrscheinlichkeit, für das Ereignis [mm] E_1: [/mm] "Die Läufer A,B,C landen auf den Medaillenrängen, mit 1. Platz A (Gold), 2. Platz B (Silber) und 3. Platz C (Bronze)" ist dann:
[mm] P(E_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{336}
[/mm]
b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge unwichtig ist.
Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der Formel:
[mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
Fehler
= [mm] \vektor{8 \\ 5} [/mm] = 56
Korrektur
Da n= 8 und k=3 ist, muss es natürlich heißen
= [mm] \vektor{8 \\ 3} [/mm] = 56
Und jetzt wird es schwierig.
Es gibt insgesamt 8! = 40320 mögliche Ergebnisse.
D.h. die Wahrscheinlichkeit die "richtigen drei" zu tippen beträgt
[mm] \bruch{56}{40320} [/mm] = [mm] \bruch{1}{720}
[/mm]
Eine Idee ist, dass die drei Läufer ja in k! bzw. 3! = 6 verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können.
Davon ist eine Reihenfolge die "richtige", und 5 Reihenfolgen sind "falsche".
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm] E_2: [/mm] "Es werden die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen Reihenfolge" berechnet sich:
=> [mm] P(E_2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{720}*\bruch{5}{6} [/mm] = [mm] \bruch{1}{864}
[/mm]
richtig?
Habt ihr noch andere Ideen?
Danke & Gruß
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Hiho,
> Die Wahrscheinlichkeit, für das Ereignis [mm]E_1:[/mm] "Die Läufer
> A,B,C landen auf den Medaillenrängen, mit 1. Platz A
> (Gold), 2. Platz B (Silber) und 3. Platz C (Bronze)" ist
> dann:
>
> [mm]P(E_1)[/mm] = [mm]\bruch{1}{336}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne
> Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge
> unwichtig ist.
>
> Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die
> "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der
> Formel:
>
> [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{8 \\ 5}[/mm] = 56
Wieso du hier unten dann die 5 einsetzt, ist mir zwar ein Rätsel… aber richtig ist es trotzdem.
> Und jetzt wird es schwierig.
>
>
> Es gibt insgesamt 8! = 40320 mögliche Ergebnisse.
>
> D.h. die Wahrscheinlichkeit die "richtigen drei" zu tippen
> beträgt
>
> [mm]\bruch{56}{40320}[/mm] = [mm]\bruch{1}{720}[/mm]
Nee, hier hast du einen Denkfehler.
Du hast doch bereits ausgerechnet: Es gibt 56 Möglichkeiten, die ersten drei zu tippen… die Wahrscheinlichkeit die richtigen drei zu tippen ist damit einfach [mm] $\frac{1}{56}$
[/mm]
> Eine Idee ist, dass die drei Läufer ja in k! bzw. 3! = 6
> verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können.
>
> Davon ist eine Reihenfolge die "richtige", und 5
> Reihenfolgen sind "falsche".
Korrekt.
> Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm]E_2:[/mm] "Es werden
> die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen
> Reihenfolge" berechnet sich:
>
> => [mm]P(E_2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{720}*\bruch{5}{6}[/mm] = [mm]\bruch{1}{864}[/mm]
Setzt du hier statt deinen falschen [mm] \frac{1}{720} [/mm] die [mm] \frac{1}{56} [/mm] ein, passt es.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 06.06.2021 | | Autor: | hase-hh |
Moin, Moin!
> > b) Es handelt sich um ein Zufallsexperiment ohne
> > Zurücklegen (ohne Wiederholung), in dem die Reihenfolge
> > unwichtig ist.
> >
> > Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die
> > "richtigen" 3 Läufer auszuwählen berechnet sich nach der
> > Formel:
> >
> > [mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
> >
> > = [mm]\vektor{8 \\ 5}[/mm] = 56
> Wieso du hier unten dann die 5 einsetzt, ist mir zwar ein
> Rätsel… aber richtig ist es trotzdem.
Stimmt. Es sollte natürlich k = 3 in die Formel eingesetzt werden. ^^
Die Anzahl der möglichen Kombinationen, aus 8 Läufern die "richtigen" 3 Läufer auszuwählen, berechnet sich nach der Formel:
[mm]\vektor{n \\ k}[/mm]
= [mm]\vektor{8 \\ 3}[/mm] = 56
Die Wahrscheinlichkeit die richtigen drei zu tippen ist damit [mm]\frac{1}{56}[/mm] .
Weiter. Da die drei Läufer in k! bzw. 3! = 6 verschiedenen Reihenfolgen gezogen werden können, und davon eine Reihenfolge die "richtige" ist, und die anderen 5 Reihenfolgen "falsche" sind, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eine der falschen Reihenfolgen zu erhalten [mm] \bruch{5}{6} [/mm] .
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis [mm]E_2:[/mm] "Es werden die richtigen drei Läufer getippt, aber in der falschen Reihenfolge" berechnet sich:
[mm]P(E_2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{56}*\bruch{5}{6}[/mm] = [mm]\bruch{5}{336}[/mm] .
Danke & einen sonnigen Sonntag!
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