Lagebeziehung von Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Delia00 |
Hallo Zusammen,
wenn ich zwei Ebenen habe, die sich schneiden, also eine gemeinsame Schnittgerade haben, dann müsste doch theoretisch der Ortsvektor der Ebene E1 auch Vektor von der Ebene E2 sein.
Wenn man also den Ortsvektor von E1 in die Koordinatengleichung der Ebene E2 einsetzt müsste die Gleichung erfüllt sein, oder??
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Sa 17.08.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Zusammen,
>
> wenn ich zwei Ebenen habe, die sich schneiden, also eine
> gemeinsame Schnittgerade haben, dann müsste doch
> theoretisch der Ortsvektor der Ebene E1 auch Vektor von der
> Ebene E2 sein.
Nein, denn der Ortsvektor der jeweiligen Ebene muss nicht auf der Schnittgerade liegen.
>
> Wenn man also den Ortsvektor von E1 in die
> Koordinatengleichung der Ebene E2 einsetzt müsste die
> Gleichung erfüllt sein, oder??
Nein.
Für genauere Informationen lies dir mal vor allem Kapitel 7.3 bei ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net durch.
>
>
> Danke.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 Sa 17.08.2013 | | Autor: | fred97 |
Es gibt nicht "den Ortsvektor" einer Ebene. Jeder Punkt auf der Ebene spendiert Dir einen Ortsvektor.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Sa 17.08.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Delia,
> Hallo Zusammen,
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> wenn ich zwei Ebenen habe, die sich schneiden, also eine
> gemeinsame Schnittgerade haben, dann müsste doch
> theoretisch der Ortsvektor der Ebene E1 auch Vektor von der
> Ebene E2 sein.
die Schnittgerade ist nichts anderes als die Menge aller Punkte, die in
beiden Ebenen gemeinsam liegen (ich gehe mal davon aus, dass Du
nicht identische Ebenen betrachten willst).
Jeder Punkt der Schnittgeraden erfüllt sowohl die Ebenengleichung der
Ebene [mm] $E_1$ [/mm] als auch die der Ebene [mm] $E_2.$ [/mm]
(Das ist ja auch der Grund, warum man zur Berechnung der Schnittgeraden
bei nicht parallelen Ebenen die Gleichungen gleichsetzt. Genauer kann man
das mit Mengen beschreiben (die Vektoren [mm] $\vektor{u_1\\u_2\\u_3}$ [/mm] und [mm] $\vektor{v_1\\v_2\\v_3}$ [/mm] seien natürlich
linear unabhängig; analoges gelte bzgl. der unten erkennbaren
Spannvektoren von [mm] $E_2$):
[/mm]
[mm] $E_1=\left\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3:\;\;\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{p_1\\p_2\\p_3}+r*\vektor{u_1\\u_2\\u_3}+s*\vektor{v_1\\v_2\\v_3},\;r,s \in \IR\right\},$
[/mm]
[mm] $E_2=\left\{(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3:\;\;\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{q_1\\q_2\\q_3}+\tilde{r}*\vektor{y_1\\y_2\\y_3}+\tilde{s}*\vektor{z_1\\z_2\\z_3},\;\tilde{r},\,\tilde{s} \in \IR\right\}\,.$
[/mm]
Wodurch sind die [mm] $\vec{x}^T=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] mit [mm] $\vec{x}^T \in E_1 \cap E_2$ [/mm] charakterisiert?)
Und natürlich kannst Du jeden Punkt dieser Schnittgeraden als (gemeinsamen)
Aufpunkt für jede der beiden Ebenen wählen.
Ist Dir aber klar, dass das "logisch anders herum abläuft" wie bei Deiner
Fragestellung?
Denn um das von Marius und Fred Gesagte nochmal zu untermauern:
Betrachte einfach mal die (durch die folgenden Gleichungen
charakterisierten) Ebenen
[mm] $E_1:$ $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=r*\vektor{1\\0\\0}+s*\vektor{0\\1\\0},$ [/mm] $r,s [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $E_2:$ $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=u*\vektor{0\\1\\0}+v*\vektor{0\\0\\1},$ [/mm] $u,v [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $E_1$ [/mm] ist "die [mm] $xy\,$-Ebene" [/mm] und [mm] $E_3$ [/mm] ist "die [mm] $y,z\,$-Ebene".
[/mm]
Hier haben beide (einen) gemeinsamen Aufpunkt, nämlich $(0,0,0) [mm] \in \IR^3.$
[/mm]
(Beachte: In der Mathematik bedeutet "ein" nicht "genau ein", sondern
"mindestens ein"!)
Zudem kann man die beiden "mit einem gemeinsamen Stützvektor, der
nicht der Nullvektor ist" umschreiben, wenn man einfach einen Punkt
der Geraden [mm] $g:=\left\{a*\vektor{0\\1\\0}: a \in \IR\right\}$ [/mm] wählt.
Ich kann aber auch einfach [mm] $E_1$ [/mm] so umschreiben, dass in der Darstellung
ein Stützvektor auftaucht, der sicher nichts mit [mm] $E_2$ [/mm] zu tun hat:
[mm] $E_1:$ $\vec{x}=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{1\\1\\0}+\tilde{r}*\vektor{1\\0\\0}+\tilde{s}*\vektor{0\\1\\0},$ $\tilde{r},\,\tilde{s} \in \IR.$
[/mm]
Der "Aufpunkt" $(1,1,0)$ "gehört zwar zu [mm] $E_1$ [/mm] - gehört aber mit Sicherheit nicht
zu [mm] $E_2$".
[/mm]
P.S. Was ist denn der Hintergrund/Gedanke Deiner Frage? Denn man kann
schon mit dem Differenzvektor von Stützpunkten arbeiten, um zu testen,
ob zwei Ebenen parallel sind oder nicht...
Gruß,
Marcel
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