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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Di 11.11.2008 | | Autor: | LaLeLuuu |
| Aufgabe | Durch die Parameterdarstellungen sind Geraden g, h, k gegeben. Untersuchen Sie ihre gegenseitige Lage. Berechnen Sie gegebenenfalls Schnittpunkte.
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 3} [/mm] + r [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ -5}
[/mm]
k: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{25 \\ 4 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ 5} [/mm] |
Also ich habe gerechnet bei den Geraden g und h:
I: 2 -r = 4 + 3s
II: 2r = 4 + 2s ---> r = 2 + s
III: 3 + 2r = -5s
r in III ergibt s = -1
und dies in I ergibt r = 1
d.h. sie schneiden sich im Punkt S(1|2|5).
++++++++
Gerade g und k:
I: 2-r = 25-3t
II: 2r = 4-2t ---> r = 2-p
III: 3+2r = 5t
r = 2-p in III ergibt t = 1, dies in I ergibt r = 20.
Diese Ergebnisse als Probe eingesetzt ergeben falsche Aussagen, d.h. g und k sind zueinander windschief.
++++++++
Geraqden h und k:
I: 4+3s = 25-3t
II: 4 + 2s = 4 - 2t
III: -5s = 5t ---> t = -s
t = -s in II ergibt eine wahre Aussage.
p = -t in I ergibt eine falsche Aussage.
Sind die Geraden dann auch windschief zueinander?
Bin etwas unschlüssig mit meinen Ergebnissen und ob diese stimmen und meine Schlussfolgerung daraus.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, LaLeLuuu,
> Durch die Parameterdarstellungen sind Geraden g, h, k
> gegeben. Untersuchen Sie ihre gegenseitige Lage. Berechnen
> Sie gegebenenfalls Schnittpunkte.
>
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 3}[/mm] + r [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> h: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 0}[/mm] + s [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ -5}[/mm]
>
> k: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{25 \\ 4 \\ 0}[/mm] + t [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ 5}[/mm]
Zuvor: Bei solchen Aufgaben empfiehlt es sich, die Geraden zuerst auf PARALLELITÄT zu untersuchen.
Dies tust Du, indem Du überprüfst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
Dies ist z.B. bei Deinen Geraden h und k der Fall!
h und k sind daher weder windschief, noch schneiden sie sich.
Du musst nun nur noch schauen, ob sie ECHT parallel sind oder sogar IDENTISCH.
Dies tust Du z.B. indem Du nachprüfst, ob der Aufpunkt von h auch auf k liegt.
Sind die Geraden NICHT parallel (bei Deiner Aufgabe: g und h sowie g und k), dann kannst Du das Gleichungssystem so durchrechnen, wie Du das unten getan hast!
> Also ich habe gerechnet bei den Geraden g und h:
>
> I: 2 -r = 4 + 3s
> II: 2r = 4 + 2s ---> r = 2 + s
> III: 3 + 2r = -5s
>
> r in III ergibt s = -1
> und dies in I ergibt r = 1
>
> d.h. sie schneiden sich im Punkt S(1|2|5).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ++++++++
>
> Gerade g und k:
>
> I: 2-r = 25-3t
> II: 2r = 4-2t ---> r = 2-p
> III: 3+2r = 5t
>
> r = 2-p in III ergibt t = 1, dies in I ergibt r = 20.
> Diese Ergebnisse als Probe eingesetzt ergeben falsche
> Aussagen, d.h. g und k sind zueinander windschief.
Aber nur, wenn Du die Geraden vorher auf Parallelität untersucht hast (siehe meine obigen Bemerkungen!)
In Deinem Fall stimmt's aber: g und k sind windschief.
> ++++++++
>
> Geraqden h und k:
>
> I: 4+3s = 25-3t
> II: 4 + 2s = 4 - 2t
> III: -5s = 5t ---> t = -s
>
> t = -s in II ergibt eine wahre Aussage.
> p = -t in I ergibt eine falsche Aussage.
> Sind die Geraden dann auch windschief zueinander?
Siehst Du?! Hier geht's genau schief!
Die Geraden liegen nämlich NICHT windschief zueinander, sondern sind (echt) parallel.
Also nochmal: ERST die Parallelität bearbeiten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mi 12.11.2008 | | Autor: | LaLeLuuu |
Danke für die Hilfe!
Mit der Parallelität habe ich allerdings noch ein Problem.
Der Aufpunkt von h = Gerade k ergibt dann bei mir:
[mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{25 \\ 4 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ 5}
[/mm]
Daraus folgt:
I: 4 = 25-3t
II: 4 = 4 - 2t
III: 0 = 5t
Dort erhalte ich allerdings keine wahren Aussagen (z.B. für t=0), was allerdings Bedingung für Parallelität ist, oder?
Irgendwas mache ich da falsch, nur leider weiß ich nicht was :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Bedingung fuer Parallelitaet ist, dass die Richtungsvektoren proportional sind. das ist bei h und k der Fall, der eine ist (-1) *dem anderen.
jetzt gibts 2 Moeglichkeiten, die Geraden sind gleich, oder nur parallel. wenn sie gleich waeren musste irgend ein Punkt von h auch auf kliegen. das hast du ausprobiert, und rausgekriegt, das das nicht so ist. Also sind h und k parallel aber nicht gleich.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Mi 12.11.2008 | | Autor: | LaLeLuuu |
Danke!
Nun noch meine letzte Frage: Wie schreibe ich dies mathematisch auf, dass der der RV1 = -(RV2) ist? Bei diesen habe ich dies auch gesehen, nur weiß ich nicht, wie man diese Proportionalität der Vektoren mathematisch prüft (falls es mal ein komplizierterer Vergleich ist).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 12.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Sind beide RV parallel, gibt es ein k, so dass [mm] \vec{RV_{1}}=k*\vec{RV_{2}}
[/mm]
Also muss ein k existieren, dass
[mm] \vektor{x_{1}\\y_{1}\\z_{1}}=k*\vektor{x_{2}\\y_{2}\\z_{2}}
[/mm]
Also [mm] x_{1}=kx_{2} [/mm] UND [mm] y_{1}=ky_{2} [/mm] UND [mm] z_{1}=kz_{2}
[/mm]
Und hier ist k=-1
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 12.11.2008 | | Autor: | LaLeLuuu |
Oh ja klar, das klingt jetzt total logisch wo ichs lese! Vielen Dank!
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