Lagrange N.B. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:47 Mi 29.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
| Aufgabe | | Auf ein Grundstück in Form eines rechtwinkligen Dreiecks (Höhe und Breite gegeben) soll ein Winkelbungalow gebaut werden. Berechnen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes die Grundmaße des Hauses, so dass die Grundfläche des Hauses maximal wird. |
hey,
also damit man es sich besser vorstellen kann, will ich noch was dazu sagen, wie der bungalow in dieser rechtwinkligen dreiecksfläche aussieht.
es ist quasi wie eine zweistufige treppe, die man von rechts betritt.
in etwa so:
-----------
-----------
--------------------
--------------------
die fläche des bungalows wäre dann die summe dieser beiden flächen.
da das ganze begrenzt ist als rechtwinklige dreiecksfläche, kann man eine gerade vom linken oberen punkt (entspricht der höhe h) bis zum punkt ganz rechts unten (entspricht der breite b) auf dem grundstück ziehen.
diese hätte gerade hätte folgende form:
g(x) = h - [mm] \bruch{h}{b}*x
[/mm]
man könnte die aufgabe dann mit folgender funktion lösen:
[mm] x_{1}*g(x_{1}) [/mm] + [mm] (x_{2}-x_{1})*g(x_{2})
[/mm]
[mm] (x_{1} [/mm] ist der rechte rand der ersten fläche,
[mm] x_{2} [/mm] ist der rechte rand der zweiten fläche)
man könnte diese funktion dann ableiten und entsprechend maxima finden.
meine frage jetzt:
wie stelle ich das ganze als lagrange-funktion denn auf ?
soll ich die gerade als nebenbedingung nehmen, aber wie sieht dann meine zu maximierende funktion aus ? da muss ich die gerade doch auch schon wie in der funktion oben benutzen oder soll ich da sowas wie [mm] x_{1}*h [/mm] schreiben statt [mm] x_{1}*g(x_{1}) [/mm] ??
bitte um hilfe, ist dringend wegen klausur ^^
danke =)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mi 29.07.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Auf ein Grundstück in Form eines rechtwinkligen Dreiecks
> (Höhe und Breite gegeben) soll ein Winkelbungalow gebaut
> werden. Berechnen Sie mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes die
> Grundmaße des Hauses, so dass die Grundfläche des Hauses
> maximal wird.
> hey,
>
> also damit man es sich besser vorstellen kann, will ich
> noch was dazu sagen, wie der bungalow in dieser
> rechtwinkligen dreiecksfläche aussieht.
> es ist quasi wie eine zweistufige treppe, die man von
> rechts betritt.
> in etwa so:
>
> -----------
> -----------
> --------------------
> --------------------
>
>
> die fläche des bungalows wäre dann die summe dieser
> beiden flächen.
> da das ganze begrenzt ist als rechtwinklige
> dreiecksfläche, kann man eine gerade vom linken oberen
> punkt (entspricht der höhe h) bis zum punkt ganz rechts
> unten (entspricht der breite b) auf dem grundstück ziehen.
> diese hätte gerade hätte folgende form:
> g(x) = h - [mm]\bruch{h}{b}*x[/mm]
>
> man könnte die aufgabe dann mit folgender funktion
> lösen:
> [mm]x_{1}*g(x_{1})[/mm] + [mm](x_{2}-x_{1})*g(x_{2})[/mm]
>
> [mm](x_{1}[/mm] ist der rechte rand der ersten fläche,
> [mm]x_{2}[/mm] ist der rechte rand der zweiten fläche)
>
> man könnte diese funktion dann ableiten und entsprechend
> maxima finden.
>
> meine frage jetzt:
>
> wie stelle ich das ganze als lagrange-funktion denn auf ?
> soll ich die gerade als nebenbedingung nehmen, aber wie
> sieht dann meine zu maximierende funktion aus ? da muss ich
> die gerade doch auch schon wie in der funktion oben
> benutzen oder soll ich da sowas wie [mm]x_{1}*h[/mm] schreiben statt
> [mm]x_{1}*g(x_{1})[/mm] ??
>
> bitte um hilfe, ist dringend wegen klausur ^^
>
> danke =)
du willst doch die Fläche des Bungalows ($ [mm] x_{1}\cdot{}g(x_{1})+(x_{2}-x_{1})\cdot{}g(x_{2}) [/mm] $ maximieren (also ist das die Zielfunktion), unter der Bedingung, dass der Bungalow auf das Grundstück passt (Nebenbedingung). Für genaue Bezeichnungen wäre es nicht schlecht, würdest du dir eine Skizze machen.
Gruß barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 29.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
hmm also ich denke, dass in dieser funktion schon beides vermischt ist, da g(x) die gerade ist, die das grundstück von oben links nach unten rechts begrenzt.
ich möchte halt diese maximierung der fläche als zielfunktion haben und die begrenzung des grundstücks als nebenbedingung darstellen, um lagrange anzuwenden.
so wie ich es sehe, ist die nebenbedingung diese begrenzende gerade mit der formel g(x) = h - [mm] \bruch{h}{b}*x
[/mm]
(die höhe h des grundstücks oben links als startpunkt, dann fallender verlauf bis zur rechten unteren seite des grundstücks, welches dann der breite b entspricht)
was ich jetzt nicht weiß, ist wie ich meine flächenfunktion ohne die geradenformel zu verwenden hinschreiben soll und das in einen lagrange-ansatz "packen" kann ?
wenn man einfach die funktion [mm] f(x_{1},x_{2})=$ x_{1}\cdot{}g(x_{1}) [/mm] $ + $ [mm] (x_{2}-x_{1})\cdot{}g(x_{2}) [/mm] $ versucht zu maximieren, geht es auch, aber ich soll explizit lagrange benutzen und da liegt das problem hier.
hoffe es ist jetzt verständlich, wenn nicht bitte fragen.
danke für hilfe
|
|
|
| |
|
Stell dir ein rechtwinkliges Dreieck vor, bei dem der rechte Winkel links unten liegt.
Der Koordinatenursprung (0,0) liegt im linken unteren Eckpunkt.
Eine Position [mm] x_{0} [/mm] befindet sich also irgendwo entlang der unteren Seite des Dreiecks.
Dieses Dreieck ist durch Vorgabe der Höhe und Breite unveränderlich.
Das bedeutet: zu jeder Position [mm] x_{0} [/mm] auf der unteren Seite hast du einen eindeutig zugeordneten Punkt [mm] y_{0}.
[/mm]
(das ist der Schnittpunkt der Hypotenuse mit einer Gerade durch [mm] x_{0}, [/mm] orthogonal zur x-Achse)
Also: haste x, haste y.
Die Funktion g(x) spuckt zu einer Position [mm] x_{0} [/mm] genau diesen Punkt [mm] y_{0} [/mm] aus.
Sie stellt also die Nebenbedingung dar [mm] (y_{0} [/mm] ist bedingt durch [mm] x_{0}).
[/mm]
Wie du richtig vermutet hast ist sie bei der Funktion [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] die du da angegeben hast schon eingearbeitet.
Für die Lagrange Fkt. brauchst du die Funktion f(...), bei der die Nebenbedingung noch nicht eingearbeitet ist.
Das ist quasi die Situation, in der y nicht von x abhängt.
Also: haste x, haste trotzdem nicht y.
Also musst du in diese Funktion sowohl x als auch y reinstecken.
Hier steckst du allerdings zwei x-Positionen rein, das bedeutet du musst auch zwei y-Positionen reinstecken,
denn die Funktion soll die Summe zweier Flächen berechnen und beide Flächeninhalte werden jeweils durch eine x und eine y Koordinate bestimmt.
Du hast also eine Funktion: [mm] f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})
[/mm]
Auch das hast du bereits vermutet, nur hatte y bei dir den Namen h.
Deine Unsicherheit rührte wohl vom vektoriellen Charakter her, der sich
übrigens auch auf die Nebenbedingung auswirkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Fr 31.07.2009 | | Autor: | PiPchen |
super, das beantwortet meine frage =)
vielen dank, dass du es so genau beschrieben hast.
dann muss ich quasi nur noch die Lagrange-Funktion aufstellen mit:
[mm] L(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},\lambda_{1},\lambda_{2}) [/mm] =
[mm] x_{1}*y_{1} [/mm] + [mm] (x_{2}-x_{1})*y_{2} [/mm] + [mm] \lambda_{1}*(h [/mm] - [mm] \bruch{h}{b} [/mm] - [mm] y_{1}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(h [/mm] - [mm] \bruch{h}{b} [/mm] - [mm] y_{2}) [/mm]
und nach allen Variablen ableiten. Werd das mal probieren und schauen, ob das gleiche Ergebnis rauskommt.
danke nochmal
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:55 Do 30.07.2009 | | Autor: | awakening |
Die Nebenbedingung, dass der Bungalow (bestehend aus 2 rechtecken - siehe Formel für Summe der Flächeninhalte) aufs Grundstück passt, wird gerade durch die Funktion g(x) ausgedrückt.
Diese beschreibt nämlich die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.
Setze Koordinatenursprung an den Eckpunkt des rechten Winkels.
für x=0 ist g(0)=h und enstpricht der vollen vorgegebenen Höhe.
für x=b, der maximalen gegebenen breite ist g(b)=h-h=0
der Term -h/b in g(x) bezeichnet die Steigung der Hypotenuse.
Die Fläche des Bungalows ist
($ [mm] x_{1}\cdot{}g(x_{1})+(x_{2}-x_{1})\cdot{}g(x_{2}) [/mm] $
richtig, aber hier ist die Nebenbedingung schon eingearbeitet.
Da die Optimierung mittels Lagrange-Methode durchgeführt werden soll, ist dies nicht ganz die zu maximierende Funktion.
Diese enthält nämlich nicht die Nebenbedingung.
=>
zu maximierende Funktion:
[mm] f(x_{1},x_{2},y_{1},y_{1}) [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] * [mm] y_{1} [/mm] + [mm] (x_{2}-x_{1}) [/mm] * [mm] y_{2}
[/mm]
nebenbedingung:
[mm] g(x_{1},x_{2})=\vektor{h- \bruch{h}{b} * x_{1} \\ h- \bruch{h}{b} * x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{y_{1} \\ y_{2} }
[/mm]
|
|
|
|
