Lagrange:Restgliedform,Diffbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien [mm] k\ge [/mm] 2, [mm] f\in C^k(I,\IR) [/mm] und [mm] a\in [/mm] I. Es gelte: [mm] f^{(j)}(a)=0 [/mm] für j<k und [mm] f^{(k)}(a)>0.
[/mm]
Beh:a) k gerade [mm] \Rightarrow [/mm] f hat in a ein lokales Minimum
b) k ungerade [mm] \Rightarrow [/mm] f hat in a kein lokales Extremum. |
Hallo.
Ich mal wieder 
Ich habe folgendes Problem. Und zwar habe ich mich an der Aufgabe versucht, in dem ich die Form des Restglieds nach Lagrange benutzt habe, komme aber nicht weit und glaube, dass der Ansatz falsch ist. Allerdings kann ich nicht den Finger draulegen, wo genau der Haken ist, bzw. warum ich diese Umformung hier nicht nutzen kann. Wäre nett, wenn mir das jemand sagen könnte.
Also: Nach Lagrange gilt für ein [mm] f\in C^{n+1}(I,\IR) [/mm] und [mm] a\in [/mm] I, dass ich f.a. [mm] x\in [/mm] I ein y zwischen a und x finde, mit:
[mm] f(x)=\summe^n_{k=0}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}
[/mm]
Auf meinen Fall übertragen müsste das doch heißen, dass ich für alle x ein y finde, so dass:
[mm] f(x)=\summe^{k-1}_{i=0}\bruch{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}
[/mm]
Da aber ja für j<k [mm] f^{(j)}(a)=0, [/mm] fällt doch die ganze summe weg.
Es bleibt also doch:
[mm] f(x)=\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}
[/mm]
Das nach x abgeleitet ergibt: [mm] f'(x)=\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}k(x-a)^{k-1}
[/mm]
[oder liegt da dder Fehler und ich darf so nicht ableiten, weil das y in jeweiliger Abhängigkeit zu x gewählt ist?]
Setze ich nämlich f'(x)=0, folgt direkt, dass entweder [mm] f^{(k)}(y)=0 [/mm] oder [mm] (x-a)^{k-1}=0. [/mm] In beiden Folgen - wenn eingesetzt in die zweite Ableitung - ergibt sich, dass [mm] f''(x_E)=0, [/mm] und zwar unabhängig von k.
Also ist wohl irgendetwas falsch.
Könnte mich jemand darüber aufklären, was und mir gegebenenfalls einen Anstoß für einen anderen Ansatz liefern?
Wäre - wie immer - dankbar,
Gruß
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Seien [mm]k\ge[/mm] 2, [mm]f\in C^k(I,\IR)[/mm] und [mm]a\in[/mm] I. Es gelte:
> [mm]f^{(j)}(a)=0[/mm] für j<k und [mm]f^{(k)}(a)>0.[/mm]
> Beh:a) k gerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a ein lokales
> Minimum
> b) k ungerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a kein lokales
> Extremum.
> Hallo.
> Ich mal wieder
> Ich habe folgendes Problem. Und zwar habe ich mich an der
> Aufgabe versucht, in dem ich die Form des Restglieds nach
> Lagrange benutzt habe, komme aber nicht weit und glaube,
> dass der Ansatz falsch ist. Allerdings kann ich nicht den
> Finger draulegen, wo genau der Haken ist, bzw. warum ich
> diese Umformung hier nicht nutzen kann. Wäre nett, wenn mir
> das jemand sagen könnte.
> Also: Nach Lagrange gilt für ein [mm]f\in C^{n+1}(I,\IR)[/mm] und
> [mm]a\in[/mm] I, dass ich f.a. [mm]x\in[/mm] I ein y zwischen a und x finde,
> mit:
>
> [mm]f(x)=\summe^n_{k=0}\bruch{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\bruch{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/mm]
>
> Auf meinen Fall übertragen müsste das doch heißen, dass ich
> für alle x ein y finde, so dass:
>
> [mm]f(x)=\summe^{k-1}_{i=0}\bruch{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^i+\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}[/mm]
> Da aber ja für j<k [mm]f^{(j)}(a)=0,[/mm] fällt doch die ganze
> summe weg.
> Es bleibt also doch:
> [mm]f(x)=\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}[/mm]
Genau. Es sei denn, in der Aufgabenstellung soll es $0 < j < k$ und nicht einfach nur $j < k$ heissen, dann bleibt noch $f(x) = f(a) + [mm] \bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}$ [/mm] uebrig. Aber das aendert nichts am Rest der Aufgabe.
Weiterhin weisst du, dass [mm] $f^{(k)}$ [/mm] stetig ist.
> Das nach x abgeleitet ergibt:
Du weisst jedoch nicht, ob [mm] $f^{(k)}$ [/mm] diffbar ist! Ableiten ist also sowieso schonmal keine gute Idee.
> [mm]f'(x)=\bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}k(x-a)^{k-1}[/mm]
> [oder liegt da dder Fehler und ich darf so nicht ableiten,
> weil das y in jeweiliger Abhängigkeit zu x gewählt ist?]
Genau, das ist der zweite Grund warum du hier nicht ableiten kannst.
Aber das brauchst du auch gar nicht. Du weisst, dass [mm] $f^{(k)}(a) [/mm] > 0$ ist. Da [mm] $f^{(k)}$ [/mm] stetig ist, ist also [mm] $f^{(k)}(x) [/mm] > 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$ fuer eine Umgebung $U$ von $a$ (etwa $U = (a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon)$ [/mm] fuer ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] wenn du den Begriff Umgebung nicht magst ).
Wenn nun $k$ gerade ist, dann ist $f(x) = [mm] \lambda(x) [/mm] (x - [mm] a)^k$ [/mm] fuer ein [mm] $\lambda(x) [/mm] > 0$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$. Also ist $f(x) > f(a)$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] U$, $x [mm] \neq [/mm] a$.
Wenn $k$ ungerade ist gehts analog...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | > > Seien [mm]k\ge[/mm] 2, [mm]f\in C^k(I,\IR)[/mm] und [mm]a\in[/mm] I. Es gelte:
> > [mm]f^{(j)}(a)=0[/mm] für j<k und [mm]f^{(k)}(a)>0.[/mm]
> > Beh:a) k gerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a ein lokales
> > Minimum
> > b) k ungerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a kein lokales
> > Extremum.
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Moin!
Heißt das, ich hab tatsächlich den richtigen Ansatz? *freu*
> Genau. Es sei denn, in der Aufgabenstellung soll es [mm]0 < j < k[/mm]
> und nicht einfach nur [mm]j < k[/mm] heissen, dann bleibt noch [mm]f(x) = f(a) + \bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}[/mm]
> uebrig. Aber das aendert nichts am Rest der Aufgabe.
Hmmm... Leider ist die Aufgabenstellung nicht so genau, habe sie so wiedergegeben, wie wir sie bekommen haben. Dummerweise sehe ich nicht, wie das ganze gehen sollte, wenn die Bedingung auch für j=0 gelten würde (immerhin würde dann ja das f(a) wegfallen), also ändert das schon etwas an der Aufgabe. Oder übersehe ich mal wieder etwas?
> [mm]f^{(k)}(a) > 0[/mm] ist. Da [mm]f^{(k)}[/mm] stetig ist, ist also
> [mm]f^{(k)}(x) > 0[/mm] fuer alle [mm]x \in U[/mm] fuer eine Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]a[/mm]
> (etwa [mm]U = (a - \varepsilon, a + \varepsilon)[/mm] fuer ein
> [mm]\varepsilon[/mm], wenn du den Begriff Umgebung nicht magst
> ).
Doch, den Begriff mag ich, vor allem, wenn er mir wie hier so wunderbar hilft
> Wenn nun [mm]k[/mm] gerade ist, dann ist [mm]f(x) = \lambda(x) (x - a)^k[/mm]
> fuer ein [mm]\lambda(x) > 0[/mm] fuer alle [mm]x \in U[/mm]. Also ist [mm]f(x) > f(a)[/mm]
> fuer alle [mm]x \in U[/mm], [mm]x \neq a[/mm].
>
Wunderbar. Bleibt für mich eigentlich nur die Frage, ob ich sicher davon ausgehen kann, dass das "y" sicher aus der Umgebung von a ist. Sicher, ich habe es ja so gefunden, dass es zwischen x und a liegt, aber reicht das denn schon? Im Skript ist der entsprechende Satz mal wieder ein wenig ungenau formuliert.
Vielen Dank auf jeden Fall wieder mal für die Hilfe,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> > > Seien [mm]k\ge[/mm] 2, [mm]f\in C^k(I,\IR)[/mm] und [mm]a\in[/mm] I. Es gelte:
> > > [mm]f^{(j)}(a)=0[/mm] für j<k und [mm]f^{(k)}(a)>0.[/mm]
> > > Beh:a) k gerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a ein lokales
> > > Minimum
> > > b) k ungerade [mm]\Rightarrow[/mm] f hat in a kein lokales
> > > Extremum.
>
> Moin!
> Heißt das, ich hab tatsächlich den richtigen Ansatz?
> *freu*
Ja. Wenn man das Ableiten nicht dazuzaehlt
> > Genau. Es sei denn, in der Aufgabenstellung soll es [mm]0 < j < k[/mm]
> > und nicht einfach nur [mm]j < k[/mm] heissen, dann bleibt noch [mm]f(x) = f(a) + \bruch{f^{(k)}(y)}{(k)!}(x-a)^{k}[/mm]
> > uebrig. Aber das aendert nichts am Rest der Aufgabe.
>
> Hmmm... Leider ist die Aufgabenstellung nicht so genau,
> habe sie so wiedergegeben, wie wir sie bekommen haben.
> Dummerweise sehe ich nicht, wie das ganze gehen sollte,
> wenn die Bedingung auch für j=0 gelten würde (immerhin
> würde dann ja das f(a) wegfallen), also ändert das schon
> etwas an der Aufgabe. Oder übersehe ich mal wieder etwas?
Ob nun $f(a) = 0$ sein muss oder nicht aendert nichts an der Aufgabe, da dies den Graph sowieso nur nach oben oder unten verschieben wuerde. Ob es dann ein Minimum oder Maximum oder nix von beiden ist, daran aendert sich nichts.
> > [mm]f^{(k)}(a) > 0[/mm] ist. Da [mm]f^{(k)}[/mm] stetig ist, ist also
> > [mm]f^{(k)}(x) > 0[/mm] fuer alle [mm]x \in U[/mm] fuer eine Umgebung [mm]U[/mm] von [mm]a[/mm]
> > (etwa [mm]U = (a - \varepsilon, a + \varepsilon)[/mm] fuer ein
> > [mm]\varepsilon[/mm], wenn du den Begriff Umgebung nicht magst
> > ).
> Doch, den Begriff mag ich, vor allem, wenn er mir wie hier
> so wunderbar hilft
> > Wenn nun [mm]k[/mm] gerade ist, dann ist [mm]f(x) = \lambda(x) (x - a)^k[/mm]
Hier wuerdest du $f(x) = f(a) + [mm] \lambda(x) [/mm] (x - [mm] a)^k$ [/mm] stehen haben, aber da du ja nur $f(x) > f(a)$ haben willst aendert das nix.
> > fuer ein [mm]\lambda(x) > 0[/mm] fuer alle [mm]x \in U[/mm]. Also ist [mm]f(x) > f(a)[/mm]
> > fuer alle [mm]x \in U[/mm], [mm]x \neq a[/mm].
> >
> Wunderbar. Bleibt für mich eigentlich nur die Frage, ob ich
> sicher davon ausgehen kann, dass das "y" sicher aus der
> Umgebung von a ist. Sicher, ich habe es ja so gefunden,
> dass es zwischen x und a liegt, aber reicht das denn schon?
Man kann ja fordern, dass die Umgebung konvex ist. Wenn sie von der Form $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon)$ [/mm] ist fuer ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ dann tut es das auf jeden Fall Du hast aber schon Recht, im Allgemeinen muss das nicht in der Umgebung drinnen liegen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> > > Heißt das, ich hab tatsächlich den richtigen Ansatz?
> > > *freu*
> >
> > Ja. Wenn man das Ableiten nicht dazuzaehlt
> >
> Pft, also ehrlich, da freut man sich mal und dann wird
> einem wieder alles madig gemacht . Aber immerhin habe ich
> doch noch gesehen, wo genau der Fehler lag!
Sorry Dann halt so: Ja, der Ansatz was super! :o)
> Hmmm... und jetzt wieder ernst:
> > Man kann ja fordern, dass die Umgebung konvex ist. Wenn sie
> > von der Form [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon)[/mm] ist fuer
> > ein [mm]\varepsilon > 0[/mm] dann tut es das auf jeden Fall Du
> > hast aber schon Recht, im Allgemeinen muss das nicht in der
> > Umgebung drinnen liegen.
> Wie würde das denn dann aussehen? Geht das so einfach?
Wenn $U$ eine beliebige Umgebung von $a$ ist, dann ist $a$ ja ein innerer Punkt von $U$. Also gibt es per Definition ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon) [/mm] = [mm] B_\varepsilon(a) \subseteq [/mm] U$. Und wenn die Bedingung fuer $U$ gilt, so gilt sie natuerlich auch fuer $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon) \subseteq [/mm] U$. Also kannst du $U$ durch $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon)$ [/mm] ersetzen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin schon wieder.
> Sorry Dann halt so: Ja, der Ansatz was super! :o)
Danke, fand ich auch ![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
> Wenn [mm]U[/mm] eine beliebige Umgebung von [mm]a[/mm] ist, dann ist [mm]a[/mm] ja ein
> innerer Punkt von [mm]U[/mm]. Also gibt es per Definition ein
> [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon) = B_\varepsilon(a) \subseteq U[/mm].
> Und wenn die Bedingung fuer [mm]U[/mm] gilt, so gilt sie natuerlich
> auch fuer [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq U[/mm].
> Also kannst du [mm]U[/mm] durch [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon)[/mm]
> ersetzen.
Sry, aber irgendwie will das in meinen Kopf nicht rein, dass sich diese Eigenschaft von der Kugel auf die Umgebung überträgt. Wäre das anders herum, würde ich das ja einsehen, aber so? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Danke für die Geduld,
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Wenn [mm]U[/mm] eine beliebige Umgebung von [mm]a[/mm] ist, dann ist [mm]a[/mm] ja ein
> > innerer Punkt von [mm]U[/mm]. Also gibt es per Definition ein
> > [mm]\varepsilon > 0[/mm] mit [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon) = B_\varepsilon(a) \subseteq U[/mm].
> > Und wenn die Bedingung fuer [mm]U[/mm] gilt, so gilt sie natuerlich
> > auch fuer [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon) \subseteq U[/mm].
> > Also kannst du [mm]U[/mm] durch [mm](a - \varepsilon, a + \varepsilon)[/mm]
> > ersetzen.
> Sry, aber irgendwie will das in meinen Kopf nicht rein,
> dass sich diese Eigenschaft von der Kugel auf die Umgebung
> überträgt.
Wie meinst du das?
Ich habe gesagt (oder versucht zu sagen): Wenn auf einer Umgebung $U$ gilt, dass [mm] $f^{(k)}(x) [/mm] > 0$ ist, dann gilt es auch auf $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon) \subseteq [/mm] U$.
Insbesondere ist $(a - [mm] \varepsilon, [/mm] a + [mm] \varepsilon)$ [/mm] ja auch eine Umgebung von $a$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Hmmm... hatte da eben glaub ich nen Knick im Gedankengang. Hast natürlich recht. Aber irgendwie kommt mir das immer noch spanisch vor, auch wenn alle Logik dagegen spricht. Da setz ich mich noch mal in ner ruhigen Minute mit auseinander,
Vielen Dank für die wiederholten Versuche, mich auf den rechten Weg zu führen
Gruß
San
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