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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Hallo, ich habe da eine Aufgabe, bei der ich zu keinem Ansatz komme.
Es soll bestimmt werden:
[mm]\limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1 - \cos(x) + o(x^2)}{\sin^2(x) + o(x^2) + O(x^3)}[/mm]
Das verwirrt mich irgendwie total, denn ich kenne nur Landaudefinitionen, in denen es auch ein f(x) gibt.
Wie habe ich denn hier Klein- und Groß-O zu verstehen?
Danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Farnsy!
Es macht für mich wenig Sinn, dass der Limes für [mm] $x\to [/mm] 0$ zu bestimmen ist. Meinst du nicht [mm] $x\to\infty$, [/mm] denn dann kann man es direkt mit der Definition der Landau-Symbole in Verbindung bringen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Nein, es heißt x gegen 0 in der Aufgabenstellung.
Ich hätte ja einfach an L'Hopital gedacht... aber das geht mit o ja wohl nicht so (jedenfall weiß ich davon nichts)
Habe gerade noch auf ner Anmerkung zur Aufgabe gelesen, dass ich cos und sin durch ihre Taylor-Reihen ersetzen soll..
Aber daraus werde ich auch nicht schlau... Was soll das bringen, bis zu welchem Grad, etc.
Mir fehlt einfach ein Anfang...
Gruß
Farnsy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo Hanno
eine allgemeine definition für die landau-symbole findet du zum beispiel ![[]](/images/popup.gif) hier. für [mm] $x_0 [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] sollte diese mit deiner definition übereinstimmen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:10 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wie du schon in der mitteilung bemerkt hast, ist es hier vorteilhaft die trigonometrischen funktionen durch ihre taylor approximation dazulstellen. bis zu welchem gard man entwickelt hängt stark von der situation ab und ist leider nicht so allgemein zu beantworten. man sieht aber mit etwas erfahrung, dass es hier genügt bis zu [mm] $x^2$ [/mm] zu entwickeln, da man dann schon den gerenzwert erkennen kann - unter verwendung der entsprechenden regeln für die landau-symbole. also ersetze in dem term
[m] \cos x \stackrel{x \to 0}{=} 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) [/m]
[m] \sin x \stackrel{x \to 0}{=} x + o(x^2) [/m]
nach geeignetem kürzen sollte sich der grenzwert $0.5$ ergeben.
ich hoffe damit kommst du weiter, wenn nicht frage einfach nach.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 So 23.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Danke Andreas!
Ich habe gleich die Taylorentwicklung von
[mm]\sin^2(x) = x^2 + o(x^2) [/mm] benutzt
und erhalte dann
[mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^2/2}{x^2 + o(x^2) o(x^2) + O(x^3)}[/mm]
Wenn ich dann mit 1/x² erweitere, bleibt tatsächlich 1/2 als Limes übrig, falls [mm]O(x^3) = 0[/mm] ist.
Heißt es aber nicht nur, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\a} 0\le |\bruch{f(x)}{g(x)}| \ge\infty[/mm]
Edit: ach ich bin blöd, es ist ja auch [mm] O(x^3) [/mm] * 1/x² und das ist für x gegen 0 dann ja auch tatsächlich 0.
Danke 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Ich habe gleich die Taylorentwicklung von
> [mm]\sin^2(x) = x^2 + o(x^2)[/mm] benutzt
noch besser.
> und erhalte dann
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x^2/2}{x^2 + o(x^2) o(x^2) + O(x^3)}[/mm]
da musst du etwas aufpassen, denn es gilt [mm] $o(x^2) [/mm] - [mm] o(x^2) [/mm] = [mm] o(x^2)$, [/mm] da die terme aus den [mm] $o(x^2)$ [/mm] sich im allgemeinen nicht gegenseitig wegheben, betrachte z.b. [mm] $x^3 \stackrel{x \to 0}{=} o(x^2)$ [/mm] und [mm] $x^4 \stackrel{x \to 0}{=} o(x^2)$, [/mm] aber [mm] $x^3 [/mm] - [mm] x^4 \not= [/mm] 0$.
man erhält, aber immerhin [m] \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2 + o(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} + o(1)}{1 + o(1)} = \frac{1}{2} [/m]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 23.10.2005 | | Autor: | Farnsy |
Hi Andreas,
die Rechenregeln für die Os waren mir leider nicht so bewusst, leuchten aber ein.
Jedoch noch eine Frage: Müsste dann im Nenner nicht auch noch O(x) stehen?
Ich sehe gerade nicht, wie das "wegfällt"
Grüße
und danke für deine Geduld
Farnsy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> die Rechenregeln für die Os waren mir leider nicht so
> bewusst, leuchten aber ein.
normalerweise sollte man sowas mal in der vorlesung beweisen.
> Jedoch noch eine Frage: Müsste dann im Nenner nicht auch
> noch O(x) stehen?
> Ich sehe gerade nicht, wie das "wegfällt"
es gilt $f [mm] \in [/mm] O(x) [mm] \; \Longrightarrow \; [/mm] f [mm] \in [/mm] o(1)$ oder in mengenschreibweise $O(x) [mm] \subset [/mm] o(1)$. anschaulich ist das, denke ich, klar, da die funktionen in $O(x)$ die sind, die "mindestens so schnell" wie $x$ gegen $0$ gehen und $o(1)$ die funktionen, die "schneller als" die konstante funktion $1$gegen $0$ gehen, also alle funktionen die überhaupt gegen null gehen. schreibe dir die definitionen der ausdrücke mal hin. das sollte sich eigentlich ganz kurz beweisen lassen.
ich hoffe damit bekommst du den rest hin.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 23.10.2005 | | Autor: | Anjali |
Hi,
ich muss auch diese Aufgabe hier lösen und wußte nicht, dass man das mit der Taylorentwicklung lösen kann, bis ich hier drübergestolpert bin. Bin aber auch auf 1/2 gekommen in dem ich L'Hospital angewendet hab.
Hatte mir überlegt wenn ich eine Funktion hab die in [mm] O(x^2) [/mm] liegt, dann muss die Ableitung dieser Funktion ja in [mm] O(x) [/mm] liegen. wenn ich so 2mal L'Hospital anwende komm ich auf 1/2.
Stimmt meine Überlegung so oder bin ich mit Taylor besser beraten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 So 23.10.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> ich muss auch diese Aufgabe hier lösen und wußte nicht,
> dass man das mit der Taylorentwicklung lösen kann, bis ich
> hier drübergestolpert bin. Bin aber auch auf 1/2 gekommen
> in dem ich L'Hospital angewendet hab.
> Hatte mir überlegt wenn ich eine Funktion hab die in
> [mm]O(x^2)[/mm] liegt, dann muss die Ableitung dieser Funktion ja in
> [mm]O(x)[/mm] liegen. wenn ich so 2mal L'Hospital anwende komm ich
> auf 1/2.
> Stimmt meine Überlegung so oder bin ich mit Taylor besser
> beraten?
also mit taylor bist du auf jeden fall besser beraten, da terme durch die landau-symbole abgeschätz werden ja im allgemienen nicht differenzierbar zu sein brauchen. so gilt zum beispiel für
[m] f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases} [/m]
$f [mm] \stackrel{x \to 0}{=} [/mm] O(x)$, aber $f' [mm] \stackrel{x \to 0}{\not=} [/mm] O(1)$, da $f'$ gar nicht existiert.
man kann sich mal überlegen, ob sich ein ähnliches verfahren rechtfertigen lässt, aber mit den klassischen regeln von de l'hôpital lässt sich das nicht machen.
grüße
andreas
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