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| Aufgabe | | Ein als semi-unendlich angenommener Festkörper 0 < x < [mm] \infty [/mm] hat zum Zeitpunkt t=0 einer Temperatur Ti=0. Bei > 0 und x = 0 wir der Körper einer Flüssigkeit ausgesetzt, deren Temperatur Tf sich in Abhängigkeit von t ändert: Tf = B * [mm] t^{n}, [/mm] B und n sind konstant. Der Wärmeübertragungskoeffizient h ist endlich. Gesucht ist die Temperaturverteilung, zu berechnen mittels Laplace Transformation. |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe. Speziell mit der Rücktransformation.
Hier mein bisheriger Lösungsansatz:
PDE:
[mm] \bruch{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=\bruch{1}{\alpha}\bruch{\partial T}{\partial t}
[/mm]
Rand- und Anfangsbedingungen:
t=0: T(x,0)=Ti=0
x=0: [mm] -k\bruch{\partial T}{\partial x}=h(Tf-Ts)=h(Bt^{n}-Ts)
[/mm]
hier ist Ts die Temperatur an der Oberfläche des Körpers
x [mm] \to \infty: [/mm] T=Ti=0
(Wir kennzeichnen das Laplace transformierte "T" normalerweise mit einem Überstrich. Ich lass den hier der Einfachheit halber mal weg, hoffe es ist klar was gemeint ist.)
1. Laplace Transformation:
Like Seite der PDE:
[mm] L(\bruch{\partial^{2}T}{\partial x^{2}})=\bruch{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}
[/mm]
Rechte Seite der PDE
[mm] L(\bruch{1}{\alpha}\bruch{\partial T}{\partial t})=\bruch{1}{\alpha}pT-Ti=\bruch{1}{\alpha}pT
[/mm]
weil Ti=0
mit [mm] q^{2}=p/\alpha: \bruch{\partial^{2}T}{\partial x^{2}}=q^{2}T
[/mm]
Rand- und Anfangsbedingungen:
x=0: [mm] L(-k\bruch{\partial T}{\partial x})=L(h(Bt^{n}-Ts)) [/mm] -> [mm] k\bruch{\partial T}{\partial x}=h(T-B\bruch{n!}{p^{n+1}})
[/mm]
x [mm] \to \infty: [/mm] L(T)=Ti=0
2. Lösung DGL
[mm] T=C1e^{-qx}+C2e^{qx}
[/mm]
Randbedingungen:
x [mm] \to \infty: T=0=C1+C2*\infty
[/mm]
folglich muss C2 = 0 sein -> [mm] T=C1e^{-qx}
[/mm]
Linke Seite der Randbedingung [mm] k\bruch{\partial T}{\partial x}=h(T-B\bruch{n!}{p^{n+1}}):
[/mm]
x=0: [mm] k\bruch{\partial T}{\partial x}=k\bruch{\partial C1e^{-qx}}{\partial x}=-kqC1
[/mm]
Rechte Seite der Randbedingung [mm] k\bruch{\partial T}{\partial x}=h(T-B\bruch{n!}{p^{n+1}}):
[/mm]
[mm] h(T-B\bruch{n!}{p^{n+1}}=h(C1e^{-qx}-B\bruch{n!}{p^{n+1}}=h(C1-B\bruch{n!}{p^{n+1}})
[/mm]
Folglich:
[mm] C1=\bruch{hB\bruch{n!}{p^{n+1}}}{kq+h}
[/mm]
Also:
[mm] T=\bruch{hB\bruch{n!}{p^{n+1}}}{kq+h}e^{-qx}
[/mm]
3. Rücktransformation
Hier fangen die Probleme an (Vorausgesetzt mein Lösungsweg bis hier hin ist richtig). Ich weiß nicht so recht wie ich [mm] T=\bruch{hB\bruch{n!}{p^{n+1}}}{kq+h}e^{-qx} [/mm] zurück transformieren kann, bzw. wie ich T=... umformen kann, damit ich es mittels Tabellen (pdf im Anhang ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang) zurück transformation kann.
Meine Frage(n) sind also:
1. Ist der Lösungsweg bzw. [mm] T=T=\bruch{hB\bruch{n!}{p^{n+1}}}{kq+h}e^{-qx} [/mm] richtig oder hab ich mich auf dem Weg schon verhaspelt?
2. Falls der Lösungsweg richtig ist, wie kann das zurück transformiert werden?
Vielen Dank für die Hilfe!
Bernd
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:05 Sa 05.11.2016 | | Autor: | felixf |
Moin
> damit ich es mittels Tabellen (pdf im Anhang
> Datei-Anhang) zurück transformation
Verlinke doch auf die ursprüngliche URL, wo du den Anhang her hast. Nur weil etwas frei im Netz erhältlich ist heisst es noch lange nicht dass du das selber irgendwo hochladen darfst oder andersweitig weiterverarbeiten darfst.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Sa 05.11.2016 | | Autor: | berndbrot |
http://www.me.ua.edu/me607/f13/pdf/Arpaci-Chapter7.pdf
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 So 06.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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