Lateinische Quadrate < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Do 08.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe |
Sei $G$ eine abelsche Gruppe mit $|G|$ ungerade. Sei [mm] $A=(xy)_{x,y \in G} [/mm] $ und [mm] $B=(xy^{-1})_{x,y \in G}$. [/mm]
Zeige:
i) A und B sind Lateinische Quadrate und
ii) A und B sind orthogonal zueinander.
Definition orthogonal: Zwei Lateinische Quadrate $A$ und $B$ heißen
orthogonal, wenn [mm] $G^2:= \lbrace [/mm] (r,s) | r,s [mm] \in [/mm] G [mm] \rbrace [/mm] ~=~ [mm] \lbrace (a_{xy} [/mm] , [mm] b_{xy} [/mm] ) | x,y [mm] \in [/mm] G [mm] \rbrace [/mm] $. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, diese Aufgabe gilt es zu bearbeiten, habe nochmal nachgefragt.
Allerdings tun sich mir schon wieder Probleme auf.
Erstens: Wie zeige ich, dass eine Menge ein lateinisches Quadrat ist über einer Gruppe, von der ich nur weiß, dass sie ungerade Mächtigkeit hat????
Zweitens: Reicht es bei ii) zu zeigen, dass zu jedem Paar $(r,s) [mm] \in G^2$ [/mm] ein Paar $(x,y) [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $(a_{xy} [/mm] , [mm] b_{xy} [/mm] ) = (r,s)$ existiert ?
Über Tipps und Hilfe würde ich mich freuen!!
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Hallo!
Der erste Teil der Aufgabe ist relativ einfach: Du musst ja eigentlich nur zeigen, dass die Matrizen $A$ und $B$ in jeder Zeile und Spalte jedes Element von $G$ genau einmal stehen haben. Das folgt aber direkt aus den Gruppeneigenschaften, da [mm] $x\mapsto [/mm] xy$ und [mm] $x\mapsto xy^{-1}$ [/mm] Automorphismen sind.
Der zweite Teil ist etwas komplizierter, vorallem weil mir die Definition von orthogonal nicht ganz klar ist. Was meinst du mit [mm] $a_{xy}$ [/mm] und [mm] $b_{xy}$? [/mm] Sind das die Matrixeinträge von $A$ und $B$? Dann wäre [mm] $a_{xy}=xy$ [/mm] und [mm] $b_{xy}=xy^{-1}$. [/mm] In der Tat müsstest du dann zeigen, dass es zu jedem [mm] $(s,t)\in G^2$ [/mm] ein Tupel [mm] $(x,y)\in G^2$ [/mm] gibt, so dass [mm] $(s,t)=(xy,xy^{-1})$. [/mm] Hast du dafür eine Idee?
Viele Grüße, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 08.11.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Klar, danke. Wenn ich die Mengen als Matrizen interpretiere, ist es ja fast trivial.
Zum Aufgabenteil ii) ist mir auch was eingefallen, ich bin mir aber nicht 100%ig sicher, ob man das so machen kann:
ii) zeige: $ [mm] \forall [/mm] r,s [mm] \in [/mm] G [mm] ~~\exists [/mm] x,y [mm] \in [/mm] G : ~~~xy=r,~~xy^ {-1}=s.$
Beweis:
Es ist $|G|$ ungerade [mm] $\Rightarrow \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G , g [mm] \ne [/mm] 1 : ~~g [mm] \ne g^{-1}$, [/mm] insbesondere [mm] $g^2 \ne [/mm] 1$.
[mm] Def.$g^{\frac{1}{2}}:=g'~~mit~(g')^2 [/mm] = g , [mm] ~~g^{- \frac{1}{2}}:= (g')^{-1}$
[/mm]
Dann setze [mm] $x=r^a s^b$ [/mm] und [mm] $y=r^c s^d~,~y^{-1}=r^{-c} s^{-d}$.
[/mm]
Dann folgt aus [mm] $xy=r^{a+c} s^{b+d}=r$ [/mm] und [mm] $xy^{-1}=x=r^{a-c} s^{b-d}=s$, [/mm] dass $a=b=c= [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und $d=- [mm] \frac{1}{2}$. [/mm]
Also folgt mit [mm] $x=r^{\frac{1}{2}}s^{\frac{1}{2}}$ [/mm] und [mm] $y=r^{\frac{1}{2}} s^{-\frac{1}{2}}$ [/mm] die Behauptung.
Geht das so, oder darf mir sowas nicht definieren?
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