Laurent-Entwicklung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe hier im Buch ein Beispiel zur Laurent-Entwicklung, das ich nicht verstehe.
Die auf [mm] \IC-\{0,i\} [/mm] holomorphe Funktion [mm] \bruch{1}{z(z-i)^2} [/mm] soll in eine Laurent-Reihe entwickelt werden.
Jetzt steht hier für [mm] K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\} [/mm] :
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{1-(\bruch{z}{i})^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k=\bruch{-1}{z}+i*\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k}
[/mm]
Für [mm] K_0(1,\infty) [/mm] steht da:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{z}{i})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k
[/mm]
Und für [mm] K_i(0,1) [/mm] wird Partialbruchzerlegung gemacht:
[mm] f(z)=\bruch{-i}{(z-i)^2}+\bruch{1}{z-i}-\bruch{1}{z}=\bruch{-i}{(z-i)^2}+\bruch{1}{z-i}+\bruch{i}{1-i(z-i)}
[/mm]
Dann steht da noch, dass der letzte Summand in eine geometrische Reihe entwickelt wird.
So, nun meine Fragen:
1) Warum ist die Funktion [mm] \bruch{1}{z(z-i)^2} [/mm] nur in [mm] \IC-\{0,i\} [/mm] holomorph? Hat das mit den Nullstellen der Funktion zu tun?
2) Ich verstehe die Rechenschritte der ersten Rechnung [mit dem [mm] K_0(0,1) [/mm] ] überhaupt nicht. Schon den ersten Schritt kann ich nicht nachvollziehen, sowohl wie er gerechnet wurde, als auch, warum er gerade so gerechnet wurde.
3) Warum benutzt man bei der zweiten Rechnung [mit dem [mm] K_0(1,\infty) [/mm] ] eine andere Rechnung? Hat das was mit den verschiedenen Grenzen zu tun? Der Entwicklungspunkt ist doch der gleiche wie bei der ersten Rechnung, nämlich 0, oder?
4) Warum geht man bei der letzten Rechnung [mit den [mm] K_i(0,1) [/mm] ] jetzt ganz anders vor und benutzt eine Partialbruchzerlegung? Und warum entwickelt man dann nur den letzten Summanden in eine geometrische Reihe? Wie würde hier die fertige Laurent-Reihe aussehen?
Schonmal vielen Dank fürs helfen.
LG Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 23.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
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> Ich habe hier im Buch ein Beispiel zur Laurent-Entwicklung,
> das ich nicht verstehe.
>
> Die auf [mm]\IC-\{0,i\}[/mm] holomorphe Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm]
> soll in eine Laurent-Reihe entwickelt werden.
>
> Jetzt steht hier für [mm]K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\}[/mm] :
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{1-(\bruch{z}{i})^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k=\bruch{-1}{z}+i*\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k}[/mm]
>
> Für [mm]K_0(1,\infty)[/mm] steht da:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{z}{i})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k[/mm]
>
> Und für [mm]K_i(0,1)[/mm] wird Partialbruchzerlegung gemacht:
>
> [mm]f(z)=\bruch{-i}{(z-i)^2}+\bruch{1}{z-i}-\bruch{1}{z}=\bruch{-i}{(z-i)^2}+\bruch{1}{z-i}+\bruch{i}{1-i(z-i)}[/mm]
>
> Dann steht da noch, dass der letzte Summand in eine
> geometrische Reihe entwickelt wird.
>
>
>
> So, nun meine Fragen:
>
> 1) Warum ist die Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] nur in
> [mm]\IC-\{0,i\}[/mm] holomorph? Hat das mit den Nullstellen der
> Funktion zu tun?
Nein. Mit den Nullstellen des Nenners !! Na, na, ist den durch 0 teilen erlaubt ???
>
> 2) Ich verstehe die Rechenschritte der ersten Rechnung [mit
> dem [mm]K_0(0,1)[/mm] ] überhaupt nicht. Schon den ersten Schritt
> kann ich nicht nachvollziehen, sowohl wie er gerechnet
> wurde, als auch, warum er gerade so gerechnet wurde.
Oben steht:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{1-(\bruch{z}{i})^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k
[/mm]
das erste "=" stimmt nicht. Richtig:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{(1-(\bruch{z}{i}))^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k
[/mm]
Das 2. "=" kommt so zustande: für |q|<1 ist
[mm] $\bruch{1}{(1-q)^2}= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^k$
[/mm]
>
> 3) Warum benutzt man bei der zweiten Rechnung [mit dem
> [mm]K_0(1,\infty)[/mm] ] eine andere Rechnung? Hat das was mit den
> verschiedenen Grenzen zu tun? Der Entwicklungspunkt ist
> doch der gleiche wie bei der ersten Rechnung, nämlich 0,
> oder?
Nein. In der ersten Rechnung wird die Laurententwicklung für 0<|z|<1 gemacht, in der 2. Rechnung die Emtwicklung für |z|>1
FRED
>
> 4) Warum geht man bei der letzten Rechnung [mit den
> [mm]K_i(0,1)[/mm] ] jetzt ganz anders vor und benutzt eine
> Partialbruchzerlegung? Und warum entwickelt man dann nur
> den letzten Summanden in eine geometrische Reihe? Wie
> würde hier die fertige Laurent-Reihe aussehen?
>
> Schonmal vielen Dank fürs helfen.
>
> LG Nadine
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:31 Mi 23.06.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > 1) Warum ist die Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] nur in
> > [mm]\IC-\{0,i\}[/mm] holomorph? Hat das mit den Nullstellen der
> > Funktion zu tun?
>
>
> Nein. Mit den Nullstellen des Nenners !! Na, na, ist den
> durch 0 teilen erlaubt ???
Ja, ich meinte dir Nennerstellen.
Muss ich denn, um zu sagen, dass eine Funktion in einem Punkt holomorph ist, die Nennernullstellen der Ausgangsfunktion oder die der abgeleiteten Funktion betrachten?
> > 2) Ich verstehe die Rechenschritte der ersten Rechnung [mit
> > dem [mm]K_0(0,1)[/mm] ] überhaupt nicht. Schon den ersten Schritt
> > kann ich nicht nachvollziehen, sowohl wie er gerechnet
> > wurde, als auch, warum er gerade so gerechnet wurde.
>
> Oben steht:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{1-(\bruch{z}{i})^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k[/mm]
>
>
> das erste "=" stimmt nicht. Richtig:
>
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{(1-(\bruch{z}{i}))^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k[/mm]
>
> Das 2. "=" kommt so zustande: für |q|<1 ist
>
> [mm]\bruch{1}{(1-q)^2}= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^k[/mm]
Oh ja, ich habe die Klammer falsch gesetzt - sorry.
Aber auch in der korriegierten Version kann ich nicht erkennen, wie beim ersten "=" umgeformt wurde.
Und ich verstehe auch nicht, warum auf diesen Term umgeformt wurde, wozu brauch ich das [mm] \bruch{z}{i} [/mm] im Nenner?
> > 3) Warum benutzt man bei der zweiten Rechnung [mit dem
> > [mm]K_0(1,\infty)[/mm] ] eine andere Rechnung? Hat das was mit den
> > verschiedenen Grenzen zu tun? Der Entwicklungspunkt ist
> > doch der gleiche wie bei der ersten Rechnung, nämlich 0,
> > oder?
>
> Nein. In der ersten Rechnung wird die Laurententwicklung
> für 0<|z|<1 gemacht, in der 2. Rechnung die Emtwicklung
> für |z|>1
Und was genau bedeutet das für die Rechnung?
Warum muss ich anders vorgehen als in der ersten Rechung?
Und in welche Richtung muss ich vorgehen?
Ich habe nicht den leisesten Hauch wie ich warum ansetzen muss ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Und warum geht man bei der letzten Rechnung [mit den [mm]K_i(0,1)[/mm] ] jetzt ganz anders vor und benutzt eine Partialbruchzerlegung? Und warum entwickelt man dann nur den letzten Summanden in eine geometrische Reihe? Wie würde hier die fertige Laurent-Reihe aussehen?
LG Nadine
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:53 Do 24.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Du solltest dir mal als erstes ganz klar machen wie man einen Term, eine Funktion in eine Geometrische Reihe entwickeln kann...und wie man das macht...
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 24.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Hallo!
>
>
>
> > > 1) Warum ist die Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] nur in
> > > [mm]\IC-\{0,i\}[/mm] holomorph? Hat das mit den Nullstellen der
> > > Funktion zu tun?
> >
> >
> > Nein. Mit den Nullstellen des Nenners !! Na, na, ist den
> > durch 0 teilen erlaubt ???
>
> Ja, ich meinte dir Nennerstellen.
>
> Muss ich denn, um zu sagen, dass eine Funktion in einem
> Punkt holomorph ist, die Nennernullstellen der
> Ausgangsfunktion oder die der abgeleiteten Funktion
> betrachten?
>
>
>
> > > 2) Ich verstehe die Rechenschritte der ersten Rechnung [mit
> > > dem [mm]K_0(0,1)[/mm] ] überhaupt nicht. Schon den ersten Schritt
> > > kann ich nicht nachvollziehen, sowohl wie er gerechnet
> > > wurde, als auch, warum er gerade so gerechnet wurde.
> >
> > Oben steht:
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{1-(\bruch{z}{i})^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k[/mm]
> >
> >
> > das erste "=" stimmt nicht. Richtig:
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{-1}{z}*\bruch{1}{(1-(\bruch{z}{i}))^2}=\bruch{-1}{z}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k[/mm]
> >
> > Das 2. "=" kommt so zustande: für |q|<1 ist
> >
> > [mm]\bruch{1}{(1-q)^2}= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)q^k[/mm]
>
> Oh ja, ich habe die Klammer falsch gesetzt - sorry.
>
> Aber auch in der korriegierten Version kann ich nicht
> erkennen, wie beim ersten "=" umgeformt wurde.
Es sollte Dir bekannt sein, das
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{1}{1-z}\;\;\;(z \in \IC,\; [/mm] |z| < 1)$$
gilt. Links steht insbesondere eine Potenzreihe (mit Entwicklungspunkt [mm] $z_0=0\;$ [/mm] und Konvergenzradius [mm] $R=1\;$).
[/mm]
Was wissen wir denn dann über
[mm] $$\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{d}{dz}1+\frac{d}{dz}\sum_{k=1}^\infty z^k\blue{\underset{(\*)}{=}}\sum_{k=1}^\infty kz^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k$$
[/mm]
im Vergleich mit
[mm] $$\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z},$$ [/mm]
und wo gilt diese Gleichheit denn sicherlich ?(Schaue auch nach: Potenzreihen sind innerhalb Ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung kann dort gliedweise gebildet werden, vgl. auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Pot.-Reihen. Ansonsten wirst Du schon das [mm] $=\;$ [/mm] bei [mm] $\blue{(\*)}$ [/mm] nicht verstehen.)
Und nun siehst Du zwei Sachen:
Damit bei
[mm] $$\frac{1}{(z-i)^2}=\frac{1}{(i-z)^2}$$
[/mm]
ein Term der Form
[mm] $$\frac{1}{(1-\tilde{z})^2}$$
[/mm]
auftaucht, macht es bei
[mm] $$\frac{1}{(z-i)^2}$$
[/mm]
Sinn, [mm] $i\;$ [/mm] im Nenner vorzuklammern:
[mm] $$\frac{1}{(z-i)^2}=\frac{1}{(i(1-\;z/i))^2}=\frac{1}{i^2}*\frac{1}{(1-\;z/i)^2}=-\;\frac{1}{(1-\;\underbrace{z/i}_{=:\tilde{z}})^2}\;.$$
[/mm]
Und mithilfe der Vorüberlegung solltest Du mittlerweile wissen, dass
[mm] $$\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k$$
[/mm]
für alle $|z| < [mm] 1\;$ [/mm] gilt.
Durch ausrechnen von
[mm] $$\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}$$
[/mm]
erhältst Du also
[mm] $$\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k,$$
[/mm]
und diese Formel wendest Du nun (für [mm] $\tilde{z}=z/i$ [/mm] mit [mm] $|\tilde{z}|<1$) [/mm] auf
[mm] $$\frac{1}{(1-\;z/i)^2}$$
[/mm]
an.
Da wohl noch weitere Fragen von Dir im Post stehen, lasse ich die Frage mal auf tw-beantwortet.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Do 24.06.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Marcel.
Ich denke, soweit ist mir die Rechung an sich jetzt klar.
Wie aber komme ich z.B. darauf, das [mm] \bruch{1}{(z-i)^2} [/mm] in [mm] \bruch{1}{(i-z)^2} [/mm] umzuformen?
Wir haben ja jetzt in der Rechung die geometrische Reihe benutzt. Das heißt ja, dass alle Rechungen nur für [mm] |\bruch{z}{i}|<1 [/mm] gelten.
Wo kommt denn in der Rechung vor, dass wir die Laurent-Reihe auf [mm] K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\} [/mm] suchen?
Die allerletzte Summenumformung verstehe ich auch noch nicht, da steht:
[mm] \bruch{-1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k=\bruch{-1}{z}+i*\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k}
[/mm]
Also wie ich auf die linke Seite der Gleichung komme, weiß ich ja jetzt, aber wie komme ich auf die rechte? Und warum forme ich überhaupt noch so weiter um?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 Do 24.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nadine,
da ich gerade wenig Zeit habe:
> Hallo Marcel.
>
> Ich denke, soweit ist mir die Rechung an sich jetzt klar.
>
> Wie aber komme ich z.B. darauf, das [mm]\bruch{1}{(z-i)^2}[/mm] in
> [mm]\bruch{1}{(i-z)^2}[/mm] umzuformen?
naja, Du muss ja irgendwo den Term [mm] $1-\tilde{z}$ [/mm] im Nenner stehen haben. Da hier aber in der Ausgangsformel eh [mm] $(1-z)^2$ [/mm] steht, wäre es auch nicht schlimm, die ursprüngliche Formel umzuschreiben in
[mm] $$\frac{1}{(1-z)^2}=\frac{1}{(-(z-1))^2}=\frac{1}{((-1)^2(z-1)^2)}=\frac{1}{(z-1)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k\;\;(|z| [/mm] < [mm] 1)\,.$$
[/mm]
Wichtig ist eigentlich bei dem ganzen sozusagen, das man Umformungen macht, "bei denen man am Ende auf Bekanntes stößt".
> Wir haben ja jetzt in der Rechung die geometrische Reihe
> benutzt. Das heißt ja, dass alle Rechungen nur für
> [mm]|\bruch{z}{i}|<1[/mm] gelten.
>
> Wo kommt denn in der Rechung vor, dass wir die
> Laurent-Reihe auf [mm]K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\}[/mm] suchen?
>
> Die allerletzte Summenumformung verstehe ich auch noch
> nicht, da steht:
>
> [mm]\bruch{-1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k=\bruch{-1}{z}+i*\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Also wie ich auf die linke Seite der Gleichung komme, weiß
> ich ja jetzt, aber wie komme ich auf die rechte? Und warum
> forme ich überhaupt noch so weiter um?
Das ist doch sehr einfach, wenngleich man, wenn man's genau(er) nimmt, mit den Teilsummenfolgen argumentieren müßte. Aber formal sieht man das auch so sehr schnell(Indexshift $m=k-1$):
$$\sum_{k=0}^\infty a_k=a_0+\sum_{k=1}^\infty a_k=a_0+\sum_{m=0}^\infty a_{m+1}\underset{\substack{\text{da Name des}\\\text{Laufindex unwichtig}\\\text{nennen wir ihn}\\\text{wieder }k}}{=}a_0+\sum_{k=0}^\infty a_{k+1}\,.$$
Bei Dir ist $a_k=(k+1)\left(\frac{z}{i}\right)^k\,,$ insbesondere $a_0=(0+1)\left(\frac{z}{i}\right)^0=1*1=1\,,$ und damit
$$-\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty a_k=-\frac{1}{z}*1+\left(-\frac{1}{z}\right)\sum_{k=0}^\infty a_{k+1}=-\frac{1}{z}*1+\left(-\frac{1}{z}\right)\sum_{k=0}^\infty (k+2)\left(\frac{z}{i}\right)^{k+1}\;.$$
Und wegen $i^2=-1$ ist nun
$$-\frac{1}{z}\sum_{k=0}^\infty (k+2)\left(\frac{z}{i}\right)^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+2)\frac{i^2 z^{k}*z}{z*i^{k}*i}}\,.$$
Kürze noch
$$\frac{i^2 z^k*z}{z*i^k*i}=\frac{i*z^k}{i^k}$$
und klammere $i\;$ vor, und schon steht alles so da wie bei Dir.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 02.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Also ich habe noch folgende Fragen zu der ersten Rechung:
1) Wir haben ja in der Rechung die geometrische Reihe benutzt. Das geht ja aber nur, wenn [mm] |\bruch{z}{i}|<1. [/mm] Heißt dass, die Laurententwicklung gilt für die Funktion nur für alle z mit [mm] |\bruch{z}{i}|<1?
[/mm]
2) Wo kommt in der Rechung vor, dass man die Laurent-Reihe auf $ [mm] K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\} [/mm] $ sucht?
3) Wann weiß ich, dass eine Laurent-Reihe "fertig" ist? Also hier hätte ich es bei der Formel $ [mm] \bruch{-1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k [/mm] $ belassen und nicht noch zu $ [mm] \bruch{-1}{z}+i\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k} [/mm] $ umgeformt.
Hoffe ihr könnt mir helfen!
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Sa 03.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Also ich habe noch folgende Fragen zu der ersten Rechung:
>
> 1) Wir haben ja in der Rechung die geometrische Reihe
> benutzt. Das geht ja aber nur, wenn [mm]|\bruch{z}{i}|<1.[/mm]
> Heißt dass, die Laurententwicklung gilt für die Funktion
> nur für alle z mit [mm]|\bruch{z}{i}|<1?[/mm]
Ja. Und da
[mm] \left|\bruch{z}{i}\right| = \bruch{|z|}{|i|} = |z| [/mm]
ist, heisst das $|z|<1$.
> 2) Wo kommt in der Rechung vor, dass man die Laurent-Reihe
> auf [mm]K_0(0,1)=\{z:0<|z|<1\}[/mm] sucht?
Die Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] hat in 0 und in i jeweils eine Singularität. Da die Laurentreihe um z=0 die Funktion darstellen muss, die Funktion aber in z=i nicht definiert ist, kann der Punkt z=i nicht zum Konvergenzring der Laurentreihe gehören. Daher $|z|<1$.
> 3) Wann weiß ich, dass eine Laurent-Reihe "fertig" ist?
> Also hier hätte ich es bei der Formel
> [mm]\bruch{-1}{z}\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{z}{i})^k[/mm]
> belassen und nicht noch zu
> [mm]\bruch{-1}{z}+i\cdot{}\summe_{k=0}^{\infty}(k+2)\bruch{z^k}{i^k}[/mm]
> umgeformt.
Das ist beides richtig. Die letzte Form hat den Vorteil, dass du Haupt- und Nebenteil der Laurentreihe getrennt stehen hast. Dadurch siehst du sofort, dass der Hauptteil nur aus dem Glied
[mm] \bruch{-1}{z} [/mm]
besteht. Also ist z=0 ein Pol 1. Ordnung.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 04.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Eine Kleinigkeit bereitet mir noch Probleme.
> [mm]\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{d}{dz}1+\frac{d}{dz}\sum_{k=1}^\infty z^k\blue{\underset{(\*)}{=}}\sum_{k=1}^\infty kz^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k[/mm]
>
> Durch ausrechnen von
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
> erhältst Du also
> [mm]\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k,[/mm]
> und diese
> Formel wendest Du nun (für [mm]\tilde{z}=z/i[/mm] mit
> [mm]|\tilde{z}|<1[/mm]) auf
> [mm]\frac{1}{(1-\;z/i)^2}[/mm]
> an.
Hier sagst du ja, dass [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm] , das ist klar.
Nun sagst du, ich kann die Formeln für [mm]\tilde{z}=z/i[/mm] anwenden.
Das würde ja dann heißen, dass [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-\tilde{z}}=\frac{1}{(1-\tilde{z})^2}[/mm], also [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1}{(1-z/i)^2}[/mm] .
Aber [mm] \frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}\not=\frac{1}{(1-z/i)^2} [/mm]
Oder mach ich jetzt irgendwo einen Fehler?
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> Eine Kleinigkeit bereitet mir noch Probleme.
>
>
> > [mm]\frac{d}{dz}\sum_{k=0}^\infty z^k=\frac{d}{dz}1+\frac{d}{dz}\sum_{k=1}^\infty z^k\blue{\underset{(\*)}{=}}\sum_{k=1}^\infty kz^{k-1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k[/mm]
>
> >
> > Durch ausrechnen von
> > [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
> > erhältst Du also
> > [mm]\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k,[/mm]
> > und
> diese
> > Formel wendest Du nun (für [mm]\tilde{z}=z/i[/mm] mit
> > [mm]|\tilde{z}|<1[/mm]) auf
> > [mm]\frac{1}{(1-\;z/i)^2}[/mm]
> > an.
>
> Hier sagst du ja, dass
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm] , das ist
> klar.
>
> Nun sagst du, ich kann die Formeln für [mm]\tilde{z}=z/i[/mm]
> anwenden.
>
> Das würde ja dann heißen, dass
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-\tilde{z}}=\frac{1}{(1-\tilde{z})^2}[/mm],
> also [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1}{(1-z/i)^2}[/mm] .
>
> Aber
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}\not=\frac{1}{(1-z/i)^2}[/mm]
>
>
> Oder mach ich jetzt irgendwo einen Fehler?
Ja. z und [mm] $\tilde{z}$ [/mm] sind verschiedene Variablen, da musst du die Kettenregel anwenden:
[mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-\tilde{z}} = \frac{d}{d\tilde{z}} \bruch{1}{1-\tilde{z}} \bruch{d\tilde{z}}{dz} = \frac{1}{(1-\tilde{z})^2} * \bruch{1}{i} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 04.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer.
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}\not=\frac{1}{(1-z/i)^2}[/mm]
> >
> >
> > Oder mach ich jetzt irgendwo einen Fehler?
>
> Ja. z und [mm]\tilde{z}[/mm] sind verschiedene Variablen, da musst
> du die Kettenregel anwenden:
>
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-\tilde{z}} = \frac{d}{d\tilde{z}} \bruch{1}{1-\tilde{z}} \bruch{d\tilde{z}}{dz} = \frac{1}{(1-\tilde{z})^2} * \bruch{1}{i}[/mm]
Ja genau, das hab ich ja auch gemacht, hab das [mm] \bruch{1}{i} [/mm] direkt im Zähler stehen:
[mm] \frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}
[/mm]
Aber Marcel hat mir ja in seiner Antwort geschrieben:
> > Durch ausrechnen von
> > $ [mm] \frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2} [/mm] $
> > erhältst Du also
> > $ [mm] \frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k, [/mm] $
> > und diese Formel wendest Du nun (für $ [mm] \tilde{z}=z/i [/mm] $ mit $ [mm] |\tilde{z}|<1 [/mm] $) auf
> > $ [mm] \frac{1}{(1-\;z/i)^2} [/mm] $
> > an.
Aber wenn ich nun, wie Marcel sagt, diese Formeln für $ [mm] \tilde{z}=z/i [/mm] $ mit $ [mm] |\tilde{z}|<1 [/mm] $ anwende, dann muss ich doch in der Formel mit dem Summenzeichen das [mm] \bruch{1}{i} [/mm] noch irgendwie unterbringen, oder nicht?
Die Formeln hatte mir Marcel ja wie folgt hergeleitet:
[mm] \bruch{1}{1-z}=\summe_{k=0}^{\infty}z^k
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dz}\bruch{1}{1-z}=\bruch{d}{dz}\summe_{k=0}^{\infty}z^k
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{(1-z)^2}=\bruch{d}{dz}\bruch{1}{1-z}=\bruch{d}{dz}\summe_{k=0}^{\infty}z^k=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k
[/mm]
Aber wir haben ja gerade gesagt, dass $ [mm] \frac{d}{d\tilde{z}}\frac{1}{1-\tilde{z}}\not=\frac{1}{(1-\tilde{z})^2} [/mm] $.
Muss dann nicht auch $ [mm] \frac{1}{(1-\tilde{z})^2}\not=\sum_{k=0}^\infty (k+1)\tilde{z}^k [/mm] $ sein?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer.
>
> >
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}\not=\frac{1}{(1-z/i)^2}[/mm]
> > >
> > >
> > > Oder mach ich jetzt irgendwo einen Fehler?
> >
> > Ja. z und [mm]\tilde{z}[/mm] sind verschiedene Variablen, da musst
> > du die Kettenregel anwenden:
> >
> > [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-\tilde{z}} = \frac{d}{d\tilde{z}} \bruch{1}{1-\tilde{z}} \bruch{d\tilde{z}}{dz} = \frac{1}{(1-\tilde{z})^2} * \bruch{1}{i}[/mm]
>
> Ja genau, das hab ich ja auch gemacht, hab das [mm]\bruch{1}{i}[/mm]
> direkt im Zähler stehen:
>
> [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z/i}=\frac{1/i}{(1-z/i)^2}[/mm]
>
> Aber Marcel hat mir ja in seiner Antwort geschrieben:
>
>
> > > Durch ausrechnen von
>
> > > [mm]\frac{d}{dz}\frac{1}{1-z}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
>
> > > erhältst Du also
>
> > > [mm]\frac{1}{(1-z)^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k,[/mm]
>
> > > und diese Formel wendest Du nun (für [mm]\tilde{z}=z/i[/mm] mit
> [mm]|\tilde{z}|<1 [/mm]) auf
>
> > > [mm]\frac{1}{(1-\;z/i)^2}[/mm]
>
> > > an.
>
>
> Aber wenn ich nun, wie Marcel sagt, diese Formeln für
> [mm]\tilde{z}=z/i[/mm] mit [mm]|\tilde{z}|<1[/mm] anwende, dann muss ich doch
> in der Formel mit dem Summenzeichen das [mm]\bruch{1}{i}[/mm] noch
> irgendwie unterbringen, oder nicht?
Ja, wenn du links $z$ durch $z/i$ ersetzt, musst du das rechts genauso tun:
[mm]\frac{1}{(1-(z/i))^2}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)\left(\bruch{z}{i}\right)^k[/mm] .
>
> Die Formeln hatte mir Marcel ja wie folgt hergeleitet:
>
> [mm]\bruch{1}{1-z}=\summe_{k=0}^{\infty}z^k[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dz}\bruch{1}{1-z}=\bruch{d}{dz}\summe_{k=0}^{\infty}z^k[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{1}{(1-z)^2}=\bruch{d}{dz}\bruch{1}{1-z}=\bruch{d}{dz}\summe_{k=0}^{\infty}z^k=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k[/mm]
>
> Aber wir haben ja gerade gesagt, dass
> [mm]\frac{d}{d\tilde{z}}\frac{1}{1-\tilde{z}}\not=\frac{1}{(1-\tilde{z})^2} [/mm].
Nein, das haben wir nicht gesagt, wir haben gesagt, dass
[mm] \frac{d}{d\red{z}}\frac{1}{1-\tilde{z}}\not=\frac{1}{(1-\tilde{z})^2} [/mm],
also wenn ich nach z ableite, statt nach [mm] $\tilde{z}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 08.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Als zweites wurde ja die Laurent-Reihe für die gleiche Funktion [mm] \bruch{1}{z(z-i)^2} [/mm] für [mm] K_0(1,\infty) [/mm] gemacht.
Da steht:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k
[/mm]
So, rein rechnerisch kann ich nun schonmal den Schritt von [mm] \bruch{1}{z(z-i)^2} [/mm] nach [mm] \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2} [/mm] nachvollziehen:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z(1-\bruch{i}{z}))^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}
[/mm]
Was ich nicht verstehe:
Warum gehe ich bei dieser Rechung hier anders vor als bei der ersten und kann nicht die gleiche Entwicklung nehmen?
Hat das was mit dem Konvergenzring zu tun?
Woher weiß ich, dass ich hier genau so ansetzen muss und eben nicht wie bei der ersten Rechung?
Gibts da irgendein "Signal" für?
LG Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Do 08.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Als zweites wurde ja die Laurent-Reihe für die gleiche
> Funktion [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] für [mm]K_0(1,\infty)[/mm] gemacht.
>
> Da steht:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k[/mm]
>
> So, rein rechnerisch kann ich nun schonmal den Schritt von
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}[/mm] nach
> [mm]\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}[/mm]
> nachvollziehen:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z(1-\bruch{i}{z}))^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}[/mm]
>
> Was ich nicht verstehe:
>
> Warum gehe ich bei dieser Rechung hier anders vor als bei
> der ersten und kann nicht die gleiche Entwicklung nehmen?
>
> Hat das was mit dem Konvergenzring zu tun?
>
> Woher weiß ich, dass ich hier genau so ansetzen muss und
> eben nicht wie bei der ersten Rechung?
>
> Gibts da irgendein "Signal" für?
Ja. Das Signal ist der Konvergenzring [mm]K_0(1,\infty)[/mm], denn das sind alle z mit
[mm] 1 < |z| < \infty [/mm] .
Wenn du wieder die geometrische Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n = \bruch{1}{1-q} [/mm]
zu Hilfe nehmen willst, musst du irgendwie den Term [mm] $\bruch{1}{(z-i)^2}$ [/mm] in eine passende Form bringen.
So, und wie komme ich von $|z|>1$ auf $|q|<1$? Am einfachsten durch Bilden des Kehrwerts. Also Probiere ich das mal mit [mm] $q=\bruch{1}{z}$:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{1-q} = \bruch{1}{1-1/z} = \bruch{z}{z-1} [/mm] .
Das ist aber noch nicht ganz richtig, denn ich will im Nenner ja $z-i$ haben, also probiere ich [mm] q = \bruch{i}{z} [/mm]:
[mm] \bruch{1}{1-q} = \bruch{1}{1-i/z} = \bruch{z}{z-i} [/mm]
Also habe ich links
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n = \bruch{1}{1-q} = \bruch{z}{z-i} [/mm],
bzw. wenn ich q einsetze:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \left({\bruch{i}{z}\right)^n = \bruch{z}{z-i} [/mm] .
Jetzt dividierst du die Gleichung noch durch z:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{i^n}{z^{n-1}} = \bruch{1}{z-i} [/mm] ,
und einmal Ableiten nach z liefert dir eine für $|z|>1$ absolut konvergente Reihenentwicklung für [mm] $\bruch{1}{(z-i)^2} [/mm] $.
Der Trick ist also immer, durch geschickte Umformung auf die geometrische Reihe zu kommen.
Faustregel: wenn Konvergenz für $|z|<r$ verlangt ist, versuchst du, auf [mm] $\bruch{1}{1-z/r}$ [/mm] zu kommen; wenn Konvergenz für $|z|>r$ verlangt ist, bringst du es in die Form [mm] $\bruch{1}{1-r/z}$ [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:38 Fr 09.07.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Faustregel: wenn Konvergenz für [mm]|z|
> versuchst du, auf [mm]\bruch{1}{1-z/r}[/mm] zu kommen; wenn
> Konvergenz für [mm]|z|>r[/mm] verlangt ist, bringst du es in die
> Form [mm]\bruch{1}{1-r/z}[/mm] .
ergänzend (und vll. zum besseren Verständnis für Nadine):
Bei
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
steht ja $|q| < 1$ dabei.
Nun gilt
$$|z| < r [mm] \gdw [/mm] |z/r| < 1$$
und
$$|z| > r [mm] \gdw [/mm] |r/z| < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Das erklärt die obigen Faustregeln, wenn man im ersten Fall [mm] $\,z/r$ [/mm] die Rolle von [mm] $q\,$ [/mm] zuspricht, und im zweiten Falle halt [mm] $r/z\,$ [/mm] (in jedem der Fälle ist das entsprechende [mm] $q\,$ [/mm] dann ja betraglich [mm] $<1\,$).
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Di 13.07.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
So, ich hab jetzt mal versucht, die Rechung ausführlich nachvollziehen, vielleicht könnt ihr mal drüber gucken?
Rauskommen soll ja das hier: $ [mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}\cdot{}\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k [/mm] $
Hier ist meine Rechnung:
[mm] \bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z(1-\bruch{i}{z}))^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}
[/mm]
So, damit ist das erste Gleichheitszeichen berechnet.
Nun benutze ich wie in der ersten Aufgabe wieder die abgeleitete geometrische Reihe: [mm] \bruch{1}{(1-z)^2}=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{i}{z})^k
[/mm]
Nun habe ich ein bisschen versucht umzuformen, um auf dieses komische Ergebnis im Buch zu kommen 
[mm] \bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{i}{z})^k=\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^k}=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^{k+3}}
[/mm]
Jetzt habe ich einen Index-Shift gemacht, um wieder auf [mm] z^k [/mm] zu kommen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^{k+3}}=\summe_{k=3}^{\infty}(k-2)\bruch{i^{k-3}}{z^k}=\summe_{k=3}^{\infty}(k-2)*i^{k-3}*\bruch{1}{z^k}
[/mm]
Jetzt hab ich versucht, diese Formel hier anzuwenden: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{-k}(z-a)^{-k}=\summe_{k=-1}^{-\infty}a_{k}(z-a)^{k}
[/mm]
Das heißt doch, ich muss in der Reihendarstellung überall wo ein k steht, ein $-k$ draus machen, oder?
Dann hab ich:
[mm] \summe_{k=3}^{\infty}(k-2)*i^{k-3}*\bruch{1}{z^k}=\summe_{k=-3}^{-\infty}(-k-2)*i^{-k-3}*\bruch{1}{z^{-k}}=\summe_{k=-3}^{-\infty}(-1)(k+2)*i^{-k-3}*z^k=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^2(k+2)*i^{-k-3}*z^k=\summe_{k=-3}^{-\infty}(k+2)*i^{-k-1}*z^k
[/mm]
So, damit hätte ich das was im Buch steht. Ist das so richtig?
Und zum Schluss mal wieder: Wie kommt man darauf, es so umzuformen
Weil wenn ich kein Ergebnis hab, wo ich hinkommen muss, dann glaub ich nicht, das ich in einer Prüfung oder so jemals auf so eine Idee komme...
LG Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo zusammen!
>
> So, ich hab jetzt mal versucht, die Rechung ausführlich
> nachvollziehen, vielleicht könnt ihr mal drüber gucken?
>
> Rauskommen soll ja das hier:
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z^3}\cdot{}\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^{-k-1}(k+2)z^k[/mm]
>
> Hier ist meine Rechnung:
>
> [mm]\bruch{1}{z(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z-i)^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{(z(1-\bruch{i}{z}))^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z}*\bruch{1}{z^2}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}[/mm]
>
> So, damit ist das erste Gleichheitszeichen berechnet.
>
> Nun benutze ich wie in der ersten Aufgabe wieder die
> abgeleitete geometrische Reihe:
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^2}=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)z^k[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{i}{z})^k[/mm]
Richtig. An dieser Stelle siehst du schon, wie der Hauptteil der Laurentreihe aussieht:
[mm] \bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}= \bruch{1}{z^3} +\bruch{2i}{z^4} - \bruch{3}{z^5} -\bruch{4i}{z^6} + \dots [/mm] .
> Nun habe ich ein bisschen versucht umzuformen, um auf
> dieses komische Ergebnis im Buch zu kommen
>
> [mm]\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{i}{z})^k=\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^k}=\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^{k+3}}[/mm]
>
> Jetzt habe ich einen Index-Shift gemacht, um wieder auf [mm]z^k[/mm]
> zu kommen:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)\bruch{i^k}{z^{k+3}}=\summe_{k=3}^{\infty}(k-2)\bruch{i^{k-3}}{z^k}=\summe_{k=3}^{\infty}(k-2)*i^{k-3}*\bruch{1}{z^k}[/mm]
>
> Jetzt hab ich versucht, diese Formel hier anzuwenden:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{-k}(z-a)^{-k}=\summe_{k=-1}^{-\infty}a_{k}(z-a)^{k}[/mm]
>
> Das heißt doch, ich muss in der Reihendarstellung überall
> wo ein k steht, ein [mm]-k[/mm] draus machen, oder?
>
> Dann hab ich:
>
> [mm]\summe_{k=3}^{\infty}(k-2)*i^{k-3}*\bruch{1}{z^k}=\summe_{k=-3}^{-\infty}(-k-2)*i^{-k-3}*\bruch{1}{z^{-k}}=\summe_{k=-3}^{-\infty}(-1)(k+2)*i^{-k-3}*z^k=\summe_{k=-3}^{-\infty}i^2(k+2)*i^{-k-3}*z^k=\summe_{k=-3}^{-\infty}(k+2)*i^{-k-1}*z^k[/mm]
>
> So, damit hätte ich das was im Buch steht. Ist das so
> richtig?
>
> Und zum Schluss mal wieder: Wie kommt man darauf, es so
> umzuformen
Es ist üblich, den Hauptteil einer Laurentreihe mit negativen Potenzen von z zu schreiben, deswegen die Substitution [mm] $k\to [/mm] -k$, um von den positiven Potenzen von $1/z$ auf die negativen Potenzen von z zu kommen.
Wirklich wichtig ist die Reihenentwicklung
[mm]\bruch{1}{z^3}*\bruch{1}{(1-\bruch{i}{z})^2}=\bruch{1}{z^3}*\summe_{k=0}^{\infty}(k+1)(\bruch{i}{z})^k[/mm]
die für $|z|>1$ konvergiert. Der Rest ist eine (nützliche) Konvention.
Viele Grüße
Rainer
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