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| Aufgabe | Dies ist ein Teil des Papers "The Laurent Phenomenon" von Sorgey Fomin & Andrei Zelevinsky. Der Einfachheithalber beschränke ich die Frage auf ein Beispiel.
In this example is P a polynomial in the variables [mm] x_1,\ldots, x_{n-1} [/mm] with coefficients in a unique factorization domain [mm] \mathbb{A} [/mm] (in this example it is [mm] \mathbb{Z}).
[/mm]
Let L be a Laurent monomial in [mm] x_1,\ldots,x_{n-1}, [/mm] with coefficient in [mm] \mathbb{Z}, [/mm] such that
G = [mm] \frac{P}{L}
[/mm]
is a polynomial in [mm] \mathbb{Z}[x_1,\ldots,x_{n-1}] [/mm] not divisible by any [mm] x_i [/mm] or by any noninvertible scalar in [mm] \mathbb{Z}.
[/mm]
Such an L is unique up to a multiple in [mm] \mathbb{Z}^{\times} [/mm] (the group of invertible elements of [mm] \mathbb{Z}). [/mm] |
Hallo Leute,
ich sitze immernoch am Laurent Phänomen und komme gerade nicht weiter. Ich denke es liegt daran, dass es entweder am englischen scheitert oder aber ich die Ring-Terminologie nicht ganz verstanden habe.
Worum gehts. Um ein Laurent Phänomen zu beweisen haben die beiden Schriftsteller ein Caterpillar-Lemma aufgestellt und bewiesen. Um das anzuwenden müssen einige Schritte unternommen werden.
Beim nachweisen der Korrektheit des Phänomens lassen sie einfach obigen Satz fallen. Wieso dieses L allerdings eindeutig sein soll ist mir nicht klar. Ich beschränke das ganze mal auf ein einfaches Beispiel, welches die beiden im Paper auch benutzt haben.
Seien also a, b positive ganze Zahlen und
[mm] P(x_1,x_2) [/mm] := [mm] x_1^ax_2^{-b}+1
[/mm]
Dann kamen die beiden (ohne L explizit zu nennen) auf
G = [mm] x_1^a+x_2^{b}.
[/mm]
Wenn wir das nachrechnen kommen wir darauf, dass L = [mm] x_2^{-b} [/mm] ist.
Aber wieso soll das eindeutig sein? Wieso kann nicht L = [mm] x_1^{a} [/mm] sein? Dann wäre G = [mm] x_2^{-b}+x_1^a [/mm] und damit doch auch nicht durch [mm] x_1 [/mm] oder [mm] x_2 [/mm] Teilbar oder gar durch ein nicht invertierbares Skalar aus [mm] \mathbb{Z}.
[/mm]
Entweder ich hab in dem genannten etwas nicht verstanden und ihr sagt mir gleich, is doch klar wie Kloßbrühe warum.
Oder aber der Haken sitzt irgendwie tiefer vergraben. Dann renn ich damit doch mal zum Professor.
Vielen Dank schon mal und ich baue auf eure Hilfe.
Grüße
Highchiller
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Mi 24.09.2014 | | Autor: | hippias |
Ich kann zum eigentlichen Phaenomen nichts sagen, finde es aber sonderbar, dass
> [mm]P(x_1,x_2)[/mm] := [mm]x_1^ax_2^{-b}+1[/mm]
einfach als Polynom bezeichnet wird. Heisst ein solches Ding vielleicht Laurent-Irgendetwas?
>
> Dann kamen die beiden (ohne L explizit zu nennen) auf
> G = [mm]x_1^a+x_2^{b}.[/mm]
>
> Wenn wir das nachrechnen kommen wir darauf, dass L =
> [mm]x_2^{-b}[/mm] ist.
>
> Aber wieso soll das eindeutig sein? Wieso kann nicht L =
> [mm]x_1^{a}[/mm] sein? Dann wäre G = [mm]x_2^{-b}+x_1^a[/mm] und damit doch
> auch nicht durch [mm]x_1[/mm] oder [mm]x_2[/mm] Teilbar oder gar durch ein
> nicht invertierbares Skalar aus [mm]\mathbb{Z}.[/mm]
Ich nehme stark an, dass der Witz dabei sein soll, dass $G$ ein "richtiges" Polynom ist, also die Monome nur Exponenten [mm] $\geq [/mm] 0$ haben sollen.
>
> Entweder ich hab in dem genannten etwas nicht verstanden
> und ihr sagt mir gleich, is doch klar wie Kloßbrühe
> warum.
> Oder aber der Haken sitzt irgendwie tiefer vergraben. Dann
> renn ich damit doch mal zum Professor.
Der kann Dir bestimmt helfen.
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> Vielen Dank schon mal und ich baue auf eure Hilfe.
> Grüße
> Highchiller
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Ja in der Tat, dass sind Laurent-Polynome. Bitte Entschuldige.
Ey das ist ein verdammt guter Punkt! Mir ist übehraupt nicht aufgefallen, dass überall Laurent-Polynome gemeint sind aber G nur normale Polynome sind.
Vielen Dank schon mal. Vielleicht krieg ich es damit hin!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Do 25.09.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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