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| Aufgabe | Entwickeln Sie die Funktionen mit den Funktionswerten
a) [mm] e^{\bruch{1}{z-1}} [/mm] für |z|>1
b) [mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] für 0<|a|<|z|<|b|
jeweils in ihre Laurentreihen. |
Hallo liebe Mathefreunde ^^
ich habe mal wieder ein Problemchen mit dieser Aufgabe. Generell bin ich noch nicht ganz so bewandert mit den Laurentreihen, ich weiß aber dass sie eine Gestalt der Art [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n} [/mm] besitzen. (wobei [mm] z_{0} [/mm] der Entwicklungspunkt ist.
Hauptsächlich geht es mir um die Aufgabe (a) (die (b) dürfte doch mit Partialbruchzerlegung zu lösen sein?!): Der Entwicklungspunkt ist doch 0 !? Ich habe mit der Taylorreihe begonnen, weiß jedoch nicht wie ich mich von dem (z-1) losreißen soll um irgendwie etwas der Art [mm] z^n [/mm] zu erzeugen:
[mm] exp(\bruch{1}{z-1})=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!(z-1)^{n}} [/mm]
Hier komm ich jedoch nicht weiter oder bin ich vll auf dem Holzweg?
Vielen Dank für eure Hilfe ! 
LG Blacki
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Hallo Blackwolf1990,
> Entwickeln Sie die Funktionen mit den Funktionswerten
> a) [mm]e^{\bruch{1}{z-1}}[/mm] für |z|>1
> b) [mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)}[/mm] für 0<|a|<|z|<|b|
> jeweils in ihre Laurentreihen.
> Hallo liebe Mathefreunde ^^
> ich habe mal wieder ein Problemchen mit dieser Aufgabe.
> Generell bin ich noch nicht ganz so bewandert mit den
> Laurentreihen, ich weiß aber dass sie eine Gestalt der Art
> [mm]\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_{n}(z-z_{0})^{n}[/mm] besitzen.
> (wobei [mm]z_{0}[/mm] der Entwicklungspunkt ist.
> Hauptsächlich geht es mir um die Aufgabe (a) (die (b)
> dürfte doch mit Partialbruchzerlegung zu lösen sein?!):
> Der Entwicklungspunkt ist doch 0 !? Ich habe mit der
> Taylorreihe begonnen, weiß jedoch nicht wie ich mich von
> dem (z-1) losreißen soll um irgendwie etwas der Art [mm]z^n[/mm] zu
> erzeugen:
>
> [mm]exp(\bruch{1}{z-1})=\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!(z-1)^{n}}[/mm]
>
Das ist der erste Schritt.
Da die Laurentreihe für [mm]\vmat{z}>1[/mm] konvergieren soll,
ist
[mm]z-1=z*\left(1-\bruch{1}{z}\right)[/mm]
zu schreiben, was dann zu
[mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}(1-\bruch{1}{z})^{n}}[/mm]
führt.
Der Bruch [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z})^{n}}[/mm] ist dann
geometrische Reihe zu entwickeln, wobei es meines Erachtens
genügt den Bruch [mm]\bruch{1}{(1-\bruch{1}{z})}[/mm] in eine ebensolche
geometrische Reihe zu entwickeln.
> Hier komm ich jedoch nicht weiter oder bin ich vll auf dem
> Holzweg?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe !
>
> LG Blacki
Gruss
MathePower
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Okay vielen Dank für deine ausführliche Rückmeldung, jetzt weiß ich wie ich da rangehen kann und werde das mal probieren ! :)
Ich melde mich nochmal, falls es Komplikationen gibt ! 
LG Blacki
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Okay also ich steh jetzt doch wieder vor einem großen Fragezeichen.. ^^
Also wenn ich die geometrische Reihe anwende dann steht da:
[mm] \sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}} (\sum_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k})^{n}
[/mm]
oder? Aber das scheint mir in einer recht ungünstigen Form zu sein, das kann ich doch nicht so stehen lassen als Laurentreihe oder?
bei der (b) komme ich mit Partialbruchzerlegung auf
[mm] \bruch{1}{(z-a)(z-b)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(b-a)(z-a)}-\bruch{1}{(a-b)(z-b)}
[/mm]
Auch hier fehlt mir mal wieder die richtige Richtung.. man müsste bestimmt mit geometrischer Reihe arbeiten, oder? aber wenn ja wie?
Vielen dank für die Hilfe! LG Blacki
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Hallo Blackwolf1990,
> Okay also ich steh jetzt doch wieder vor einem großen
> Fragezeichen.. ^^
> Also wenn ich die geometrische Reihe anwende dann steht
> da:
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!z^{n}} (\sum_{k=0}^{\infty} (\bruch{1}{z})^{k})^{n}[/mm]
>
> oder? Aber das scheint mir in einer recht ungünstigen Form
> zu sein, das kann ich doch nicht so stehen lassen als
> Laurentreihe oder?
>
Sofern Du eine andere Idee hast,
kannst Du es mit dieser probieren.
> bei der (b) komme ich mit Partialbruchzerlegung auf
>
> [mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(b-a)(z-a)}-\bruch{1}{(a-b)(z-b)}[/mm]
>
Hier muss es dochlauten:
[mm]\bruch{1}{(z-a)(z-b)} = \bruch{\blue{-}1}{(b-a)(z-a)}+\bruch{1}{b-a)(z-b)}[/mm]
> Auch hier fehlt mir mal wieder die richtige Richtung.. man
> müsste bestimmt mit geometrischer Reihe arbeiten, oder?
> aber wenn ja wie?
>
Zunächst musst Du dafür sorgen, daß die geometrische Reihe
des Ausdruckes
[mm]\bruch{-1}{(b-a)(z-a)}[/mm]
für [mm]\vmat{z}>\vmat{a}[/mm]
konvergiert.
Die geometrische Reihe des Ausdruckes
[mm]\bruch{1}{(b-a)(z-b)}[/mm]
muss für [mm]\vmat{z}<\vmat{b}[/mm] konmvergieren.
Beide Ausdrücke sind entsprechend umzuformen.
> Vielen dank für die Hilfe! LG Blacki
Gruss
MathePower
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OKAY vielen Dank für deine Hilfe ! Stimmt, in der Partialbruchzerlegung hatte ich mich etwas vertan !
Viele Grüße !
Blacki
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