Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
| Aufgabe | | Gegeben sei: [mm] $f(z)=-\frac{1}{z+1}-\frac{5}{(z+1)^2}+\frac{1}{z-4}$. [/mm] Entwickeln Sie für $1<|z|<4$ die Laurentreihe der Funktion im Punkt 0. |
Hi,
ich habe diese Funktion in einer Probeklausur gefunden und da wird argumentiert, dass [mm] $g(z):=-\frac{1}{z+1}-\frac{5}{(z+1)^2}$ [/mm] der Hauptteil der Laurentreihe sein muss, dass für [mm] $|z|\rightarrow \infty$ [/mm] gelte, dass [mm] $g(z)\rightarrow [/mm] 0$. Wobei g für $|z|>1$ definiert wurde und [mm] $h(z)=\frac{1}{z-4}$ [/mm] für z aus dem Kreisring. Irgendwie verstehe ich nicht, wieso g aus diesem Grund der Hauptteil sein soll.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei:
> [mm]f(z)=-\frac{1}{z+1}-\frac{5}{(z+1)^2}+\frac{1}{z-4}[/mm].
> Entwickeln Sie für [mm]1<|z|<4[/mm] die Laurentreihe der Funktion
> im Punkt 0.
> Hi,
> ich habe diese Funktion in einer Probeklausur gefunden und
> da wird argumentiert, dass
> [mm]g(z):=-\frac{1}{z+1}-\frac{5}{(z+1)^2}[/mm] der Hauptteil der
> Laurentreihe sein muss, dass für [mm]|z|\rightarrow \infty[/mm]
> gelte, dass [mm]g(z)\rightarrow 0[/mm]. Wobei g für [mm]|z|>1[/mm] definiert
> wurde und [mm]h(z)=\frac{1}{z-4}[/mm] für z aus dem Kreisring.
> Irgendwie verstehe ich nicht, wieso g aus diesem Grund der
> Hauptteil sein soll.
> Viele Grüße,
> Reynir
Hallo Reynir,
zunächst einige Bezeichnungen: sei
[mm] G:=\{z \in \IC: 1<|z|<4 \},
[/mm]
[mm] G^{+}:=\{z \in \IC: |z|<4\}
[/mm]
und
[mm] G^{-}:=\{z \in \IC: |z|>1\}. [/mm]
Der Satz über die Laurentdarstellung für $f$ auf $G$ besagt:
Es gibt eindeutig bestimmte Funktionen [mm] f^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
(1) [mm] f^{+} [/mm] ist holomorph auf [mm] G^{+} [/mm] und [mm] f^{-} [/mm] ist holomorph auf [mm] G^{-};
[/mm]
(2) es gilt [mm] $f=f^{+}+f^{-} [/mm] auf [mm]G [/mm]
und
(3) [mm] $\limes_{|z|\rightarrow\infty}f^{-}(z)=0$.
[/mm]
Dabei nennt man [mm] f^{-} [/mm] den Hauptteil der Darstellung in (2).
Nun schau Dir die obigen Funktionen
$ [mm] g(z)=-\frac{1}{z+1}-\frac{5}{(z+1)^2} [/mm] $ und $ [mm] h(z)=\frac{1}{z-4} [/mm] $
an. Dann solltest Du sehen, dass die Funktionen [mm] f^{-}:=g [/mm] und [mm] f^{+}:=h [/mm] die obigen Eigenschaften (1) bis (3) erfüllen.
Nochmal: [mm] f^{-} [/mm] und [mm] f^{+} [/mm] sind durch die Eigenschaften (1) bis (3) eindeutig bestimmt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi Fred,
danke für die schnelle Antwort, hat der Satz eine speziellen Namen, ich habe ihn gesucht, aber nicht gefunden.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi Fred,
> danke für die schnelle Antwort, hat der Satz eine
> speziellen Namen,
Entwicklungssatz von Laurent oder Darstellungssatz von Laurent .....
FRED
> ich habe ihn gesucht, aber nicht
> gefunden.
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
also ich habe diese Version gefunden: S. 2 der PDF. Ich sehe auch eine gewisse Ähnlichkeit zu der Forderung mit dem Grenzwert für große |z|, weil ja intuitiv irgendwo klar ist, dass der Hauptteil dann gegen 0 gehen muss. Allerdings verstehe ich nicht ganz, aus welchem Grund man g als $f^-$ wählt und h als $f^+$ wählt, woran sieht man das? Ich hätte jetzt einfach alles über die geometrische Reihe entwickelt und dann geschaut, wo ich überall negative Exponenten finde und das dann zusammengefasst. Ich finde allerdings diese Version des Satzes klingt interessant.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> also ich habe diese Version gefunden:
> ![[]](/images/popup.gif) S. 2 der PDF.
Hattet Ihr denn in Eurer Vorlesung keine Version ?????
> Ich sehe auch eine gewisse Ähnlichkeit zu der Forderung
> mit dem Grenzwert für große |z|, weil ja intuitiv
> irgendwo klar ist, dass der Hauptteil dann gegen 0 gehen
> muss.
..... tatsächlich .. ?
> Allerdings verstehe ich nicht ganz, aus welchem Grund
> man g als [mm]f^-[/mm] wählt und h als [mm]f^+[/mm] wählt,
Da wird nix gewählt ! Es ist [mm]g=f^-[/mm] und [mm]h=f^+[/mm]
> woran sieht man
> das?
An den 3 Eigenschaften, die [mm]f^-[/mm] und [mm]f^+[/mm] eindeutig festnageln.
> Ich hätte jetzt einfach alles über die geometrische
> Reihe entwickelt und dann geschaut, wo ich überall
> negative Exponenten finde und das dann zusammengefasst.
Mach mal vor.
FRED
> Ich
> finde allerdings diese Version des Satzes klingt
> interessant.
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
so hatten wir den Satz:
Sei f holomorph im Kreisring $0 [mm] \leq \rho_1 [/mm] < |z| < [mm] \rho_2$ [/mm] , dann lässt sich f in einem verkleinerten Kreisring
$0 [mm] \leq \rho_1 [/mm] < [mm] r_1 [/mm] < |z| < [mm] r_2 [/mm] < [mm] \rho_2$ [/mm] als normal konvergente Laurentreihe [mm] $\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^n [/mm] $ schreiben, dabei gilt:
[mm] $a_n= \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_{r_2}} [/mm] f(x) [mm] x^{-n-1} [/mm] dx [mm] \forall n\in \mathbb{Z} [/mm] $ und alle [mm] $r,r_1 \leq [/mm] r [mm] \leq r_2$.
[/mm]
Ich sehe jetzt,was du meintest, ich hatte die Eigenschaften nicht gleich in den Funktionen gesehen.
Ich nehme aber an, nachdem ich jetzt das hier gezeigt habe, ist klar, warum mir die Version mit den $f^-$ nicht geläufig war.
Zur Aufgabe würde ich zum Beispiel schreiben:
[mm] $\frac{1}{z-4}=-\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{z}{4}}=\sum_{n=0}^\infty -(\frac{1}{4})^{n+1}z^n$.
[/mm]
Man kommt so zu einer Laurentreihe mit [mm] $a_n=(-1)^n(6-5n) [/mm] , [mm] n\leq [/mm] -1 $ und $ [mm] -(\frac{1}{4})^{n+1}, n\geq [/mm] 0$.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 18.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> so hatten wir den Satz:
> Sei f holomorph im Kreisring [mm]0 \leq \rho_1 < |z| < \rho_2[/mm]
> , dann lässt sich f in einem verkleinerten Kreisring
> [mm]0 \leq \rho_1 < r_1 < |z| < r_2 < \rho_2[/mm] als normal
> konvergente Laurentreihe [mm]\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^n[/mm]
> schreiben, dabei gilt:
> [mm]a_n= \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B_{r_2}} f(x) x^{-n-1} dx \forall n\in \mathbb{Z}[/mm]
> und alle [mm]r,r_1 \leq r \leq r_2[/mm].
> Ich sehe jetzt,was du
> meintest, ich hatte die Eigenschaften nicht gleich in den
> Funktionen gesehen.
> Ich nehme aber an, nachdem ich jetzt das hier gezeigt
> habe, ist klar, warum mir die Version mit den [mm]f^-[/mm] nicht
> geläufig war.
> Zur Aufgabe würde ich zum Beispiel schreiben:
>
> [mm]\frac{1}{z-4}=-\frac{1}{4}\frac{1}{1-\frac{z}{4}}=\sum_{n=0}^\infty -(\frac{1}{4})^{n+1}z^n[/mm].
>
> Man kommt so zu einer Laurentreihe mit [mm]a_n=(-1)^n(6-5n) , n\leq -1[/mm]
Das habe ich nicht nachgerechnet, dazu habe ich keine Lust. Du solltest das vorrechnen, wenn Du willst, das wir das kontrollieren.
> und [mm]-(\frac{1}{4})^{n+1}, n\geq 0[/mm].
Das stimmt, das hast Du ja oben vorgerechnet.
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 18.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
das muss nicht überprüft werden, mir ging es nur um die Argumentation mit dem, dass $f^-$ der Hauptteil sein muss, weil ich mir das mit meiner Version von dem Satz nicht erklären konnte, wie die das herleiten. Von daher würde es mich interessieren, ob du ein Buch weist, wo das drin steht oder einen Link kennst, damit ich mir den Bewies davon mal angucken kann.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:55 Fr 19.02.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> das muss nicht überprüft werden, mir ging es nur um die
> Argumentation mit dem, dass [mm]f^-[/mm] der Hauptteil sein muss,
> weil ich mir das mit meiner Version von dem Satz nicht
> erklären konnte, wie die das herleiten. Von daher würde
> es mich interessieren, ob du ein Buch weist, wo das drin
> steht
L. Ahlfors: Complex Analysis
W. Fischer: Funktionentheorie
E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie
K. Fritzsche: Grundkurs Funktionentheorie
K. Jänich: Funktionentheorie
W. Rudin: Real and Complex Analysis
J.B. Conway: Functions of one complex Variable
S. Lang: Complex Analysis
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.......................................
FRED
> oder einen Link kennst, damit ich mir den Bewies
> davon mal angucken kann.
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Fr 19.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank, wie immer für deine Hilfe und auch für die Buchtitel. ;)
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 19.02.2016 | | Autor: | fred97 |
Ich versuche es Dir mal so zu erklären, wobei ich die Bezeichnungen aus meinem 1. Beitrag verwende:
1. [mm] f^{+} [/mm] ist holomorph auf [mm] G^{+}, [/mm] hat dort also die Potenzreihenentwicklung
[mm] f^{+}(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] für |z|<4.
2. [mm] f^{-} [/mm] ist holomorph auf [mm] G^{-}. [/mm] Auf [mm] D:=\{z \in \IC: |z|<1\} [/mm] definieren wir die Funktion h wie folgt:
[mm] h(z):=f^{-}(1/z) [/mm] , falls z [mm] \ne [/mm] 0 und h(0):=0.
Wegen $ [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty}f^{-}(z)=0 [/mm] $ haben wir (Riemannscher Hebbarkeitssatz !): h ist auf D holomorph.
Daher
[mm] h(z)=\summe_{n=1}^{\infty}b_nz^n [/mm] für |z|<1.
Somit
[mm] f^{-}(z)=\summe_{n=1}^{\infty}b_nz^{-n} [/mm] für |z|>1.
3. Fazit:
[mm] f(z)=\summe_{n=1}^{\infty}b_nz^{-n}+\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] für $z [mm] \in [/mm] G$.
Ich denke , jetzt bist Du im gewohnten Fahrwasser.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Fr 19.02.2016 | | Autor: | Reynir |
Ich danke dir für die Erklärung. ;) Ich habe das soweit verstanden aber doch festgestellt, dass ich noch eine Frage zum Hebbarkeitssatz habe, die stelle ich aber in einem neuen Thread, damit es übersichtlich bleibt.
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:01 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
wie kann man [mm] 1/(z+1)^2 [/mm] in Laurentreihe entwickeln ?
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:47 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Infinit |
Hallo Igor,
um welche Entwicklungsstelle herum soll dies denn passieren?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Infinit,
ich bezog mich auf die Aufgabenstellung , d.h um den 0 Punkt .
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Eigentlich möchte ich , wie in der Aufgabenstellung gefragt ist, f in Laurentreihe um den 0 Punkt entwickeln. Dazu habe ich überlegt, die einzelnen Summanden von f (unter anderem [mm] -5/(z+1)^2 [/mm] ) mit Hilfe von geometrischer Reihe umzuschreiben. Ich weiß nicht , wie man [mm] -5/(z+1)^2 [/mm] mit Hilfe von geometrischer Reihe umschreiben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Mo 04.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Infinit,
>
> ich bezog mich auf die Aufgabenstellung , d.h um den 0
> Punkt .
Die Funktion $ f(z)= [mm] 1/(z+1)^2 [/mm] $ ist auf der offenen Einheitskreisscheibe holomorph. Die Entwicklung um [mm] z_0=0 [/mm] ist also eine Potenzreihe.
Es ist [mm] \bruch{1}{1+z}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^nz^n [/mm] für |z|<1
Nun differenziere......
FRED
>
> Gruß
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 04.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Alle drei Summanden sind holomorph auf der offenen Einheitskreisscheibe. D.h man kann alle drei in eine Potenzreihe um den Nullpunkt entwickeln.
In der Aufgabenstellung ist nach der Laurententwicklung im Kreisring-1-4 gefragt.
Wenn man alle drei Potenzreihen summiert , dann bekommt man eine Entwicklung auf [mm] B_1(0) [/mm] aber nicht im Kreisring.
Ich möchte f im Kreisring entwickeln.
Wie kann man das machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Di 05.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Falls meine Frage unverständlich formuliert ist, sagt einfach Bescheid.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 Di 05.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Alle drei Summanden sind holomorph auf der offenen
> Einheitskreisscheibe. D.h man kann alle drei in eine
> Potenzreihe um den Nullpunkt entwickeln.
> In der Aufgabenstellung ist nach der Laurententwicklung im
> Kreisring-1-4 gefragt.
>
> Wenn man alle drei Potenzreihen summiert , dann bekommt man
> eine Entwicklung auf [mm]B_1(0)[/mm] aber nicht im Kreisring.
> Ich möchte f im Kreisring entwickeln.
> Wie kann man das machen?
Lies Dir nochmal meine Antworten in dieser Diskussion durch ......
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Di 05.04.2016 | | Autor: | Igor1 |
Ich habe es durchgelesen. Ihr habt diskutiert, warum die Summe der ersten Summanden von f der Hauptteil der Laurentreihe von f ist. Ich weiß nicht, inwieweit das meine Frage beantworten würde. Reynir hat geschrieben, daß er die Summanden als geometrische Reihen schreiben würde. Mich interessiert , wie man das nur für den zweiten Summand machen könnte, denn für die anderen Summanden ist es klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Di 05.04.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
dafür hat dir doch fred schon 1 gestern 8.33 geschrieben, lies das noch mal!
Gruss leduart
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