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| Aufgabe | Sei [mm] f(z)=\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z+1}. [/mm] Entwickeln Sie f in eine Laurent-Reihe mit Enwicklungspunkt [mm] z_{0}=1, [/mm] die an der Stelle
a) [mm] z=\bruch{1}{2}
[/mm]
b) [mm] z=-\bruch{1}{2} [/mm]
c) z=2
konvergiert. |
Ich habe schon ein paar Laurentreihen entwickelt, aber mit dem z=irgendwas weiß ich überhaupt nicht, wie ich das angehen soll.
Kann mir jemand dazu weiterhlfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 26.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f(z)=\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z+1}.[/mm] Entwickeln Sie f in
> eine Laurent-Reihe mit Enwicklungspunkt [mm]z_{0}=1,[/mm] die an der
> Stelle
>
> a) [mm]z=\bruch{1}{2}[/mm]
> b) [mm]z=-\bruch{1}{2}[/mm]
> c) z=2
>
> konvergiert.
> Ich habe schon ein paar Laurentreihen entwickelt, aber mit
> dem z=irgendwas weiß ich überhaupt nicht, wie ich das
> angehen soll.
Dazu musst du irgendwie auf [mm] $(z-z_0)$ [/mm] kommen. Das geht am besten, indem du überall z durch [mm] $(z-z_0)+z_0$ [/mm] ersetzt.
Beispiel für [mm] $z_0=1$:
[/mm]
$ [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(z-1)+1} [/mm] $
Den Term rechts entwickelst du geschickt in eine geometrische Reihe.
Zu den drei Teilaufgaben folgender Tipp: eine Laurentreihe einer meromorphen Funktion konvergiert in dem größten Kreisring um den Entwicklungspunkt, in dem keine Singularitäten liegen. Also male dir in der komplexen Ebene die Singularitäten von f(z) und den Entwicklungspunkt auf, dann siehst du das Konvergenzgebiet der Laurentreihe.
Viele Grüße
Rainer
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die Singularitäten sind doch bei z=-1 und bei z=0
ich habe das aufgemahlt, wei du beschrieben hast und habe 3 kreuze auf dem real-achse: einen bei 1(entwicklungspunkt), und die zwei singularitäten.
und dann habe ich 2 kreise um den entwicklungspunkt [mm] z_{0}=1 [/mm] mit den radien r=1 und r=2 gemahlt.
Stimmt das soweit?
und innerhalb dieses kreisringes ist die laurentreihe nun konvergent?
zu der Entwicklung habe ich mir nun folgendes überlegt:
[mm] \bruch{1}{z}+\bruch{1}{z+1}=\bruch{1}{(z-1)+
1}+\bruch{1}{(z-1)+2}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}+\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{z-1})^{n}(-1)^{n}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und was mach in nun mit den Aufgabenteilen?
für z= irgendwas?
Dank dir erstmal sehr!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 Di 26.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> die Singularitäten sind doch bei z=-1 und bei z=0
>
> ich habe das aufgemahlt, wei du beschrieben hast und habe 3
> kreuze auf dem real-achse: einen bei 1(entwicklungspunkt),
> und die zwei singularitäten.
>
> und dann habe ich 2 kreise um den entwicklungspunkt [mm]z_{0}=1[/mm]
> mit den radien r=1 und r=2 gemahlt.
> Stimmt das soweit?
> und innerhalb dieses kreisringes ist die laurentreihe nun
> konvergent?
Ja, es gibt eine solche Laurentreihe, die ist aber nicht die einzige.
Es gibt drei verschiedene Laurentreihen mit Entwicklungspunkt [mm]z_{0}=1[/mm] :
a) konvergent im Kreis um [mm]z_{0}=1[/mm] mit Radius 1: $|z-1|<1|$
b) konvergent im Kreisring um [mm]z_{0}=1[/mm] mit Innenradius 1 und Aussenradius 2: $1<|z-1|<2$
c) konvergent im Ring um [mm]z_{0}=1[/mm] mit Innenradius 2: $|z-1|>2$.
Du siehst, dass die Grenzen der drei Gebiete geanu durch die beiden Singularitäten bestimmt werden.
> zu der Entwicklung habe ich mir nun folgendes überlegt:
>
> [mm]\bruch{1}{z}+\bruch{1}{z+1}=\bruch{1}{(z-1)+
1}+\bruch{1}{(z-1)+2}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}+\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{z-1})^{n}(-1)^{n}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
Nicht ganz: deine erste Summe konvergiert für $|z-1|<1$, die zweite für $|z-1|>2$. Es gibt für den ersten Summanden eine weitere Entwicklung, die für $ |z-1|>1$ konvergiert, und für den zweiten Summanden eine, die für $|z-1|<2$ konvergiert. Aus den vier möglichen Kombinationen ergeben sich gerade die drei Fälle, die ich oben genannt habe.
Tipp: Zieh im zweiten Summanden den Faktor 1/2 heraus und entwickle wieder in eine geometrische Reihe.
> Und was mach in nun mit den Aufgabenteilen?
> für z= irgendwas?
In welchem der drei Gebiete liegen die drei Punkte?
Viele Grüße
Rainer
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Für [mm] \bruch{1}{z} [/mm] gilt also dann folgendes:
|z-1|<1: [mm] \bruch{1}{(z-1)+ 1}= \summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}
[/mm]
|z-1|>1: [mm] \bruch{1}{z-1}\*\bruch{1}{1+\bruch{1}{(z-1)}}=\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z-1})^{n}(-1)^n
[/mm]
für [mm] \bruch{1}{z+1}
[/mm]
|z-1|<2: [mm] \bruch{1}{z+1}=\bruch{1}{(z-1)+2}=\bruch{1}{2}\*\bruch{1}{1+\bruch{z-1}{2}} =\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{z-1}{2})^n
[/mm]
|z-1|>2: [mm] \bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{z-1})^{n}(-1)^{n}
[/mm]
wenn ich nun also den Punkt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] betrachte, dann leigt der innerhalb des kleineren Kreises |z-1|<1|, demnach müßte es sich dabei um die erste Gleichung [mm] handeln:\summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}
[/mm]
der Punkt [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] befindet sich im Kreisring 1<|z-1|<2
das müßte dann folgendes ergeben:
[mm] \bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z-1})^{n}(-1)^n+\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{z-1}{2})^n
[/mm]
ist das soweit richtig?
der 3te Punkt befindet sich genau auf der Kreislinie.
Was mach ich damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Mi 27.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Für [mm]\bruch{1}{z}[/mm] gilt also dann folgendes:
>
> |z-1|<1: [mm]\bruch{1}{(z-1)+ 1}= \summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}[/mm]
>
> |z-1|>1:
> [mm]\bruch{1}{z-1}\*\bruch{1}{1+\bruch{1}{(z-1)}}=\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z-1})^{n}(-1)^n[/mm]
>
> für [mm]\bruch{1}{z+1}[/mm]
>
> |z-1|<2:
> [mm]\bruch{1}{z+1}=\bruch{1}{(z-1)+2}=\bruch{1}{2}\*\bruch{1}{1+\bruch{z-1}{2}} =\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{z-1}{2})^n[/mm]
>
> |z-1|>2:
> [mm]\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2}{z-1})^{n}(-1)^{n}[/mm]
>
> wenn ich nun also den Punkt [mm]\bruch{1}{2}[/mm] betrachte, dann
> leigt der innerhalb des kleineren Kreises |z-1|<1|, demnach
> müßte es sich dabei um die erste Gleichung
> [mm]handeln:\summe_{n=0}^{\infty}(z-1)^{n}(-1)^{n}[/mm]
Das ist die Laurententwicklung von [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] um [mm] $z_0=1$. [/mm] Da fehlt der zweite Summand. Welche der beiden Entwicklungen konvergiert denn in z=1/2?
> der Punkt [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] befindet sich im Kreisring
> 1<|z-1|<2
> das müßte dann folgendes ergeben:
>
> [mm]\bruch{1}{z-1}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{z-1})^{n}(-1)^n+\bruch{1}{2}\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{z-1}{2})^n[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> der 3te Punkt befindet sich genau auf der Kreislinie.
> Was mach ich damit?
Das sehe ich jetzt auch nicht, wie das gehen soll.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:41 Do 28.02.2008 | | Autor: | chasekimi |
so...ich habs jetzt verstanden...natürlich kommt da noch der zweite summand dazu!!! danke dem edlem helfer :)
für die 3te teilaufgabe habe ich herausgefunden, dass es sich um ein druckfehler im buch handelt, und zwar muß es da bei c) z=-2 heißen!!!
demnach ist es dann außerhalb der 2 kreise und somit auch leicht zu bestimmen *freu*
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