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Hallo!
Es gibt wieder einen neuen Mathebogen, der gelöst werden möchte. Allerdings schaff ich das nicht und brauche dringend Hilfe. Eigentlich dachte ich, ich würde Mathe verstehen, aber nun bin ich im dritten Semester und versteh nix... Also, hier sind die Aufgaben:
1. Es seien f,g : I [mm] \to \IR [/mm] beliebige Funktionen. Beweisen Sie
max {f,g} = 1/2[(f+g) + [mm] (f-g)^{+} [/mm] + [mm] (g-f)^{+}].
[/mm]
2. Zeigen Sie f(x) = [mm] e^{-|x|} \in [/mm] L( [mm] \IR).
[/mm]
3. Es sei ( [mm] $r_{n} [/mm] _{n [mm] \in \IN}$ [/mm] eine Aufzählung der rationalen Zahlen im Intervall I = [0,1]. Es sei
[mm]\phi(x)=\begin{cases} n, & \mbox{für } x \mbox{ = r_{n}} \\ 0, & \mbox{sonst } \mbox{} \end{cases}[/mm] .
Zeigen Sie phi [mm] \in [/mm] L(I) und berechnen Sie [mm] \integral_{I}^{} {\phi}. [/mm] Ist [mm] \phi [/mm] eine Levifunktion?
4. Es sei [mm] (\phi_{n}) [/mm] die Folge der stetigen, stückweise linearen Funktionen auf I = [0,1], die durch lineare Interpolation zwischen den Punkten [mm] \phi_{n}(0)=0, \phi_{n}(1/n)=n, \phi_{n}(2/n)=0, \phi_{n}(1)=0 [/mm] entsteht. Zeigen Sie, dass diese Folge keine integrierbare Majorante ( also keine Funktion [mm] \Xi \in [/mm] L(I) mit | [mm] \phi_{n}| \le \Xi [/mm] für alle n [mm] \in \IN) [/mm] besitzt kann.
5. Zeigen Sie, dass alle Intervalle der Form (a,b), (a,b], [a,b), [a,b] mit - [mm] \infty [/mm] < a [mm] \le [/mm] b < [mm] \infty [/mm] messbare Teilmengen von L( [mm] \IR) [/mm] sind.
Ich bin für jede Hilfe dankbar, auch für Buchtipps, in dem dieses Thema möglichst einfach erläutert wird.
Nimloth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Fr 28.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nim
das Integral über [mm] \Phi_{n} [/mm] ist 1 für alle n. Die Funktionen selbst konvergieren punktweise gegen 0. D.h. das Integral ist für lim n gegen unendlich 0. D.h. Grenzwert der Integrale ungleich Integral des Grenzwerts. und damit ist die Beh. bewiesen. denn gäbe es ein Schranke, dann gälte obiges nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Sa 29.10.2005 | | Autor: | brain86 |
Hallo GEowissenschaftler 3. Semester der Uni Potsdam aus der Mathe Vorlesung Junek.
Hier ist ein weiterer Geowiss aus deinem Semester. stell die fragen doch einfach einzeln und stell nicht alles rein.... das ist glaub ich produktiver.
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Hallo Nimloth,
die Aufgabe ist im Prinzip wie die, die Brain86 zur Dirichletfunktion stellt: Dort ist D auf allen rationalen Zahlen gleich 1, hier ist sie gleich n (wenn n die Nummer von [mm] q_n \in \IQ [/mm] ist).
Die Antwort ist dieselbe wie bei Brain86 (siehe weiter unten in der Postingliste): [mm] \IQ [/mm] ist eine (Ausnahme-) Menge vom Maß Null, ansonsten ist [mm] \phi [/mm] überall 0 und hat dieselbe Stammfunktion wie die Nullfunktion.
Grüße Richard
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