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| Aufgabe | Sei [mm] $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ [/mm] lebesgue-integrierbar. Dann konvergiert
[mm] $(*)=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty [/mm] f(x+k)$
fast überall absolut.
Als Hinweis wurde gegeben: Betrachten Sie den Fall [mm] $f\ge [/mm] 0$ und multiplizieren Sie die Reihe mit einer geeigneten Funktion [mm] $\chi\ge0$ [/mm] und untersuchen anschließend das Integral über $x$ auf Konvergenz. |
Wir wählen [mm] $\chi(x)$ [/mm] als die Indikatorfunktion [mm] $1_{(z,z+1]}(x)$ [/mm] des Intervalls $(z,z+1]$. Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt:
[mm] $\displaystyle\int\sum_{k=-\infty}^\infty \chi(x)f(x+k)\;dx=\displaystyle\sum_{k=-\infty}^\infty \int\chi(x)f(x+k)\;dx$
[/mm]
Sei $I$ das Integral in der Summe, dann gilt weiterhin:
[mm] $I=\displaystyle\int\chi(x-k)f(x)\;dx$
[/mm]
Jetzt komme ich nicht so recht weiter. Da [mm] $\chi(x-k)$ [/mm] auf [mm] $\mathbb{R}\setminus [/mm] (z+k,z+k+1]$ identisch $0$ und sonst identisch $1$ ist, dachte ich an
[mm] $I=\displaystyle\int_{z+k}^{z+k+1}f(x)\;dx$
[/mm]
bin mir dabei aber sehr unsicher. Könnt ihr weiterhelfen?
PS: Warum genügt es den Fall [mm] $f\ge [/mm] 0$ zu betrachten und wie hilft uns die Multiplikation mit [mm] $\chi$ [/mm] um eine Aussage über die Konvergenz treffen zu können?
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Hat niemand eine Idee? So schwierig kann die Aufgabe doch nicht sein; nur ich verzweifle langsam daran.
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 11.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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