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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:12 Mi 20.09.2006 | | Autor: | Barncle |
Hi!
Und gleich noch so eine komische Frage! :)
Also im Raum C[a,b]wird die Integration von Elementen definiert für a [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] d [mm] \le [/mm] b durchdas lineare Funkionl:
f(x) = [mm] \integral_{c}^{d}{x(t) dt}
[/mm]
Sei [mm] x_n \in [/mm] C[a,b], n= 1,2,..., und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = x [mm] \in L^1(a,b). [/mm] Dann definieren wir [mm] \integral_{c}^{d}{x(t) dt} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{c}^{d}{x_n(t) dt}
[/mm]
Das so definierte INtegral wird als Lebesgue Integral-bezeicnet.
Und jetzt meine Frage: W gena besteht der Unterschied zu einem Riemann -Integra.. und warum definier ich eigentilch dieses komische Lebesgue_Integral?
dankeschön
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mi 20.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Hi!
Hab zwar grad ehrlich gesagt nicht so die große Lust, das gesamte Lebesgue-Integral zu erklären, das können Bücher sowieso viel besser. Nur ein paar Hinweise:
Wenn alle [mm] $f_k$ [/mm] UND das $f$ RIEMANN-INTEGRIERBAR sind auf [a,b] und alle [mm] $f_k \leq [/mm] f$ sowie [mm] $f_n$ [/mm] linksseitig fast überall gegen $f$ strebt dann konvergiert
[mm]\int_a^b f_n dx \to \int_a^b f dx[/mm]
Das unangenehme an diesem Satz ist, dass $f$ integrierbar sein muss. Im Prinzip behebt das L-Integral so ein Problem durch eben genau die Definition die Du geschrieben hast.
Grob gesagt: Das L-Integral ist eine Art Verallgemeinerung des R-Integrals. Alle R-Integrierbaren Funktionen sind L-integrierbar aber umgekehrt muss das nicht sein. Du kannst also "mehr" damit machen.
So ein Standardbeispiel wäre die Drichletsche Funktion (f(x) := 1 falls x aus Q und 0 falls x aus R). Das Ding ist nicht R-integrierbar aber sehr wohl L-Integrierbar. Q ist eine Lebesgue-Nullmenge und daher existiert das L-Integral und ist =0.
Aber ich glaube es wäre am sinnvollsten, wenn Du Dir dazu ein Buch ausleihst, wenn Du das alles genau wissen möchstes.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 22.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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