Lebesgue-Nullmenge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 05.05.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Zeige, dass die Vereinigung abzählbar vieler Lebesgue-Nullmengen wieder eine Lebesgue-Nullmenge ist. |
hallo,
ich denke verstanden zu haben was eine lebesgue-nullmenge ist,aber trotzdem will mir kein ansatz einfallen. abzählbar bedeutet doch,dass eine bijektion zu den natürlichen zahlen besteht,oder?
unter einer lebesgue-nullmenge verstehe ich die menge der punkte,die das lebesgue-integral null werden lassen.
irgendwie kann ich die begriffe abzählbar und lebesgue-nullmenge nicht vebinden.könnte mir jemand helfen?
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Di 05.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
bin in der Masstheorie etwas eingerostet, aber viellicht hilft dir das:
Bezeichne die Nullmengen mit [mm] $N_1,N_2,N_3,\dots$ [/mm] Dann kannst du
[mm] $\bigcup_{k=1}^\infty N_k$ [/mm] als Vereinigung von *paarweise disjunkten* Mengen [mm] $M_1,M_2,M_3,\dots$ [/mm] mit [mm] $M_k\subset N_k$ [/mm] schreiben.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Di 05.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Es gibt jedoch auch Nullmengen, die aus überabzälbar vielen Nullmengen bestehen, wie z.B. die Cantormenge.
Eine Lebesgue-Nullmenge ist einfach eine Menge die das Lebesguemaß 0 hat. Offenbar gilt das für einpunktige Mengen, also auch für abzählbare Vereinigungen von einpunktigen Mengen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Di 05.05.2009 | | Autor: | simplify |
danke für die schnelle antwort.
aber leider verstehe ich sie nicht so recht.was hat den jetzt die cantormenge damit zu tun und warum kann man darauf schliessen,dass es sich bei den lebesgue-nullmengen um einpunktige mengen handelt?der zusammenhang wird mir nicht ganz klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> aber leider verstehe ich sie nicht so recht.was hat den
> jetzt die cantormenge damit zu tun und warum kann man
> darauf schliessen,dass es sich bei den lebesgue-nullmengen
> um einpunktige mengen handelt?der zusammenhang wird mir
> nicht ganz klar.
Der Zusammenhang ist auch sehr einfach: der ist nicht vorhanden. Benutze die bitte andere Antwort.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Es gibt jedoch auch Nullmengen, die aus überabzälbar vielen
> Nullmengen bestehen, wie z.B. die Cantormenge.
Stimmt, hat aber irgendwie nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.
> Offenbar gilt das für einpunktige
> Mengen, also auch für abzählbare Vereinigungen von
> einpunktigen Mengen.
Aber wir haben hier belieibige Nullmengen, zB abzählbar viele, disjunkte Kopien der Cantormenge. Da kommst du mit abzählbarer Vereinigung von Punkten nicht sehr weit ...
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Mi 06.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Es tut mir leid: ich habe mich verlesen und dachte eswürde argumentiert werden, dass alle Nullmengen abzählbar sind. Wollte ein Gegenbeispiel geben.
Die Aufgabe kann am einfachsten gelöst werden, wenn man benutzt, dass das Lebesgue Maß als Maß [mm] \sigma-subadditiv [/mm] ist.
Man wähle eine Folge [mm] A_j [/mm] als Folge der einpunktigen Mengen. Weiter sei A = [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_j. [/mm]
Dann gilt: [mm] A\subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} A_j.
[/mm]
Nach [mm] \sigma-Subadditivität [/mm] folgt:
[mm] \lambda(A)=\lambda(\bigcup_{i=1}^{\infty} A_j)\le\summe_{i=1}^{\infty}\lambda(A_j).
[/mm]
Da die [mm] A_j [/mm] Nullmengen sind, ist die Summe 0. Damit hat die Vereinigung auf Maß 0 und ist eine Lebesgue Nullmenge.
Sorry nochmal für den Tipp, der nichts brachte.
Gruss
BBFan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Mi 06.05.2009 | | Autor: | simplify |
Danke. Die Sache leuchtet mir nun etwas mehr ein.
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