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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass eine Lebesque NUllmenge in [mm] \IR [/mm] so verschoben werden kann, dass sie in der Menge der irrationalen Zahlen enthalten ist. |
Hallo ich habe ein Frage zu der Aufgabe: Wie muss ich da rangehen? Wenn die Lebesgue NUllmenge abzählbar ist dann ist es mir klar aber was mache ich wenn diese nicht abzählbar ist?
Lg Tanja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Tanja!
> Zeigen Sie, dass eine Lebesque NUllmenge in [mm]\IR[/mm] so
> verschoben werden kann, dass sie in der Menge der
> irrationalen Zahlen enthalten ist.
Setze [mm] $\hat{X} [/mm] := [mm] \bigcup_{x \in \IQ} [/mm] (x + X)$. Zeige zuerst, dass [mm] $\mu(\hat{X}) [/mm] = 0$ ist.
Nun sei mal angenommen, dass die Menge $X$ nicht so verschoben werden kann, dass es also zu jedem $a [mm] \in \IR$ [/mm] ein $b [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $b [mm] \in [/mm] a + X$ gibt. Folgere daraus, dass $-a [mm] \in \hat{X}$ [/mm] ist.
Damit folgt dann, dass [mm] $\IR \subseteq \hat{X} \subseteq \IR$ [/mm] ist, also [mm] $\hat{X} [/mm] = [mm] \IR$, [/mm] was ein Widerspruch zu [mm] $\mu(\hat{X}) [/mm] = 0$ ist.
LG Felix
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