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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 So 07.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
die Legendre-Gleichung in Kugelkoordinaten lautet:
[mm] \frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{dP}{d\theta})+[l(l+1)-\frac{m^2}{sin^2\theta}]P=0
[/mm]
Wobei P = [mm] P(\theta)
[/mm]
Jetzt steht im Jackson (Elektrodynamik, third edition S. 96 (falls jemand nachgucken will  )):
"Oft wird die Legendregleichung in Abhängigkeit von x = [mm] cos\theta [/mm] ausgedrückt:
[mm] \frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dP}{dx}]+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P=0
[/mm]
Meine Frage: Wie geht das? Wie funktioniert insbesondere die Transformation des Differentials? (Mir ist natürlich bekannt, dass gilt [mm] (sin^2+cos^2=1)
[/mm]
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
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> die Legendre-Gleichung in Kugelkoordinaten lautet:
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> [mm]\frac{1}{sin\theta}\frac{d}{d\theta}(sin\theta\frac{dP}{d\theta})+[l(l+1)-\frac{m^2}{sin^2\theta}]P=0[/mm]
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> Wobei P = [mm]P(\theta)[/mm]
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> Jetzt steht im Jackson (Elektrodynamik, third edition S. 96
> (falls jemand nachgucken will )):
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> "Oft wird die Legendregleichung in Abhängigkeit von x =
> [mm]cos\theta[/mm] ausgedrückt:
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> [mm]\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dP}{dx}]+[l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P=0[/mm]
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> Meine Frage: Wie geht das? Wie funktioniert insbesondere
> die Transformation des Differentials? (Mir ist natürlich
> bekannt, dass gilt [mm](sin^2+cos^2=1)[/mm]
Es ist
[mm]P(\theta)=P\left( \ x\left( \theta\right) \ \right)[/mm]
Dann ist [mm]\bruch{dP}{d\theta}=\bruch{dP}{dx}\bruch{dx}{d\theta}[/mm]
Weiterhin ist [mm]dx = \left( \ \bruch{dx}{d\theta} \ \right) \ d\theta[/mm]
Das alles in die letzte DGL eingesetzt
und Du erhältst die DGL in Kugelkoordinaten.
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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