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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
| Aufgabe | mdie folgende folgende reihe ist gegeben.
[mm] \sum_{v=2}^{infty} ((-1)^{n}*\wurzel{v^{2}-4}/v^{2}
[/mm]
Diese Reihe untersuchen ich mit dem Leibniz-Kriterium
nun bin ich an der stelle
[mm] a_{n+1}-a_{n}=(v*\wurzel{(v+1)^{2}-4}-(v+1)^{2}*\wurzel{v^{2}-4})/(v+1)^{2}*v) [/mm] |
nun komm ich net weiter da ich die wurzeln nicht weg bekomme und somit nicht zeigen kann das die reihe positiv und eine núllfolge ist
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> mdie folgende folgende reihe ist gegeben.
> [mm] \sum_{v=2}^{infty} ((-1)^{n}*\wurzel{v^{2}-4}/v^{2}
[/mm]
> Diese
> Reihe untersuchen ich mit dem Leibniz-Kriterium
> nun bin ich an der stelle
> [mm] a_{n+1}-a_{n}=(v*\wurzel{(v+1)^{2}-4}-(v+1)^{2}*\wurzel{v^{2}-4})/(v+1)^{2}*v)
[/mm]
> nun komm ich net weiter da ich die wurzeln nicht weg
> bekomme und somit nicht zeigen kann das die reihe positiv
> und eine núllfolge ist
Hallo,
zunächst einmal ist bei Deiner Umformung etwas schief gegangen.
Es muß heißen
[mm] a_{n+1}-a_{n}=\bruch{v^2*\wurzel{(v+1)^{2}-4}-(v+1)^{2}*\wurzel{v^{2}-4}}{(v+1)^{2}*v^2}
[/mm]
Die Wurzel bekommst Du im Zähler weg, wenn Du mit
[mm]v^2*\wurzel{(v+1)^{2}-4}+(v+1)^{2}*\wurzel{v^{2}-4} [/mm] erweiterst. Die Wurzeln, die Du dann im Nenner hast, stören nicht weiter, denn es ist garantiert, daß der Nenner positiv ist.
Du solltest Dir aber im Klaren darüber sein, warum Du
[mm] a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
berechnest. Was möchtest Du herausbekommen?
Was mußt Du fürs Leibnizkriterium zeigen?
1.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n^{2}-4}/n^{2}=0
[/mm]
Dabei stört die Wurzel doch nicht sonderlich:
[mm] \wurzel{n^{2}-4/n^{2}}=\wurzel{\bruch{1}{n^2}-\bruch{4}{n^4}}, [/mm] da kann man den Grenzwert gut sehen.
2. [mm] \wurzel{n^{2}-4}/n^{2} \le [/mm] 0.
Auch hier macht die Wurzel kein Problem
3.
Die Reihe [mm] (a_n):=(\wurzel{n^{2}-4}/n^{2}) [/mm] ist monoton fallend.
Es muß also [mm] a_n-a_{n+1} \ge [/mm] 0 sein (oder [mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0).
Ich hatte das Gefühl, daß Du da auf dem falschen Dampfer warst, denn Du schriebst von "positiv".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 24.01.2007 | | Autor: | Trapt_ka |
vielen dakn nunist mir endlich das leibnitz kritrium klar
das wird mir sehr helfen
echt vielen dank
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>nunist mir endlich das leibnitz kritrium klar
Das freut mich.
Aber schreib bitte NIE WIEDER Leibniz mit "tz".
Gruß v. Angela
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