Leitkoeffizient bei Polynomen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei R[x] die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten. Jedes Polynom p [mm] \in [/mm] R[x] mit p [mm] \not= [/mm] 0 kann in der Form:
[mm] p(x)=\summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}
[/mm]
(n in den natürlichen Zahlen und [mm] a_{0}...a_{n} [/mm] reelle Zahlen und [mm] a_{n} \not= [/mm] 0. )
geschrieben werden.
Wir bestimmen den Leitkoeffizienten von p als Leit(p) := [mm] a_{n}.
[/mm]
Aufgabe: Zeigen Sie: Für Polynome mit p,q [mm] \not= [/mm] 0 gilt p*q [mm] \not= [/mm] 0 und
Leit(p*q) = Leit(p) * Leit(q) |
Hallo zusammen,
hierbei habe ich denke ich einen Ansatz gefunden komme nur nicht auf mein benötigtes Ergebnis.
Leit(p) * Leit(q) müsste ja = [mm] a_{n} [/mm] * [mm] b_{m} [/mm] sein, wenn man das Polynom von q bis m laufen lässt.
Wir dürfen einen vorher bewiesenden Satz verwenden, wie man Polynome multipliziert. Also würde ja aus p(x) * q(x) werden:
[mm] \summe_{k=0}^{n+m} c_{k} [/mm] * [mm] x^{k} [/mm]
mit [mm] c_{k} [/mm] = [mm] \summe_{l=0}^{k} a_{l}*b_{k-l}
[/mm]
mit l [mm] \in [/mm] {0,....,n+m}
Nun muss man um den Leitkoeffizienten von diesem Polynom zu bestimmen ja quasi [mm] c_{n+m} [/mm] bestimmen.
Falls ich mich nicht vertue müsste das dies sein:
[mm] \summe_{l=0}^{n+m} a_{l}*b_{n+m-l}
[/mm]
Wie komme ich aber von hier auf das gewünschte Ergebnis? Es wirkt zunächst natürlich deutlich komplizierter als das Ergebnis, welches man von Leit(p)*Leit(q) erhält.
Wäre dankbar um jede Hilfe.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 14.11.2015 | | Autor: | hippias |
> Es sei R[x] die Menge aller Polynome mit reellen
> Koeffizienten. Jedes Polynom p [mm]\in[/mm] R[x] mit p [mm]\not=[/mm] 0 kann
> in der Form:
> [mm]p(x)=\summe_{k=0}^{n} a_{k}x^{k}[/mm]
> (n in den natürlichen
> Zahlen und [mm]a_{0}...a_{n}[/mm] reelle Zahlen und [mm]a_{n} \not=[/mm] 0.
> )
> geschrieben werden.
> Wir bestimmen den Leitkoeffizienten von p als Leit(p) :=
> [mm]a_{n}.[/mm]
> Aufgabe: Zeigen Sie: Für Polynome mit p,q [mm]\not=[/mm] 0 gilt
> p*q [mm]\not=[/mm] 0 und
> Leit(p*q) = Leit(p) * Leit(q)
> Hallo zusammen,
>
> hierbei habe ich denke ich einen Ansatz gefunden komme nur
> nicht auf mein benötigtes Ergebnis.
> Leit(p) * Leit(q) müsste ja = [mm]a_{n}[/mm] * [mm]b_{m}[/mm] sein, wenn
>
Das...
> man das Polynom von q bis m laufen lässt.
... verstehe ich nicht.
>
> Wir dürfen einen vorher bewiesenden Satz verwenden, wie
> man Polynome multipliziert. Also würde ja aus p(x) * q(x)
> werden:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n+m} c_{k}[/mm] * [mm]x^{k}[/mm]
> mit [mm]c_{k}[/mm] = [mm]\summe_{l=0}^{k} a_{l}*b_{k-l}[/mm]
> mit l [mm]\in[/mm]
> {0,....,n+m}
Achtung: diese Formel ergibt nur dann Sinn, wenn man verabredet, dass [mm] $a_{l}=0$ [/mm] für $l>n$ gesetzt wird, denn die Folge der Koeffizienten bricht beim Index $n$ ab, muss also über den Index des Leitkoeffizienten hinaus fortgesetzt werden. Ebenso für $b$.
>
> Nun muss man um den Leitkoeffizienten von diesem Polynom zu
> bestimmen ja quasi
quasi?
> [mm]c_{n+m}[/mm] bestimmen.
Ja.
> Falls ich mich nicht vertue müsste das dies sein:
> [mm]\summe_{l=0}^{n+m} a_{l}*b_{n+m-l}[/mm]
>
> Wie komme ich aber von hier auf das gewünschte Ergebnis?
> Es wirkt zunächst natürlich deutlich komplizierter als
> das Ergebnis, welches man von Leit(p)*Leit(q) erhält.
Man erhält das gewünschte Ergebnis, wenn man beachtet, dass sehr viele der in der Summe auftretenden Zahlen $=0$ sind; siehe zur Begründung meine obige Bemerkung hinsichtlich der Indices grösser als $n$ bzw. $m$.
>
> Wäre dankbar um jede Hilfe.
Bitte um Hilfe, sei dankbar für Hilfe.
>
> Liebe Grüße
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> Das...
> > man das Polynom von q bis m laufen lässt.
> ... verstehe ich nicht.
Hiermit meinte ich eigentlich nur, dass ich ein neues Polynom q(x) einführe welches in der Summe bis m geht. Ich sehe, das war nicht gut ausgedrückt. Tschuldige!
> Achtung: diese Formel ergibt nur dann Sinn, wenn man
> verabredet, dass [mm]a_{l}=0[/mm] für [mm]l>n[/mm] gesetzt wird, denn die
> Folge der Koeffizienten bricht beim Index [mm]n[/mm] ab, muss also
> über den Index des Leitkoeffizienten hinaus fortgesetzt
> werden. Ebenso für [mm]b[/mm].
>
Also heißt das, dass a nach dem Indize n 'abbricht' und b darf nicht um m überschritten werden?
Wenn ich das richtig verstehe, bleibt von der Summe im Endeffekt dann am Ende nur noch [mm] a_{n}*b{m} [/mm] übrig, weil in allen anderen Fällen entweder der Koeffizient mit a oder b 0 wird oder?
Das wäre dann ja der Fall wenn l = n ist.
Habe es grad mal anHand eines Beispiels berechnet und da würde dies so Sinn ergeben!
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 14.11.2015 | | Autor: | hippias |
> > Das...
> > > man das Polynom von q bis m laufen lässt.
> > ... verstehe ich nicht.
>
>
> Hiermit meinte ich eigentlich nur, dass ich ein neues
> Polynom q(x) einführe welches in der Summe bis m geht. Ich
> sehe, das war nicht gut ausgedrückt. Tschuldige!
>
>
> > Achtung: diese Formel ergibt nur dann Sinn, wenn man
> > verabredet, dass [mm]a_{l}=0[/mm] für [mm]l>n[/mm] gesetzt wird, denn die
> > Folge der Koeffizienten bricht beim Index [mm]n[/mm] ab, muss also
> > über den Index des Leitkoeffizienten hinaus fortgesetzt
> > werden. Ebenso für [mm]b[/mm].
> >
>
> Also heißt das, dass a nach dem Indize n 'abbricht' und b
> darf nicht um m überschritten werden?
Z.B. $p= [mm] 1+2x+3x^{2}$. [/mm] Was soll dann der $4$.te Koeffizient sein, wenn die Folge nur $3$ Glieder hat? Man setzt die Folge hier sinnvollerweise mit $0$ fort.
> Wenn ich das richtig verstehe, bleibt von der Summe im
> Endeffekt
So ist es irgendwie quasi im Endeffekt, genau 
> dann am Ende nur noch [mm]a_{n}*b{m}[/mm] übrig, weil in
> allen anderen Fällen entweder der Koeffizient mit a oder b
> 0 wird oder?
Keine Ahnung, was mit "der Koeffizient mit a oder b" gemeint ist. Vermutlich: ja.
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> Das wäre dann ja der Fall wenn l = n ist.
> Habe es grad mal anHand eines Beispiels berechnet und da
> würde dies so Sinn ergeben!
>
> Vielen Dank!!
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Perfekt, ich habe es verstanden!
Vielen Dank für die Hilfe!! 
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