Lemma von Poincaré < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Moe007 |
| Aufgabe | | Zeige: Jede geschlossene 1-Form w auf V:=(]-1,1[ [mm] \times [/mm] ]-3,3[) [mm] \cup [/mm] (]-3,3[ [mm] \times [/mm] ]-1,1[) [mm] \subset \IR^{2} [/mm] ist exakt |
Hallo,
ich hab bei der Aufgabe ein Problem bei der Findung der Homotopie.
Ich weiß, um zu zeigen, dass w exakt ist, muss doch V glatt zusammenziehbar sein oder? Und damit V glatt zusammenziehbar ist, brauch ich doch eine glatte Homotopie zwischen der konstanten Abb. [mm] \lambda [/mm] : V [mm] \to [/mm] V und der Identitätabb. [mm] \nu [/mm] : V [mm] \to [/mm] V.
Wie kann ich aber solch eine glatte Homotopie finden?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Danke,
Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 05.10.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moe!
Die Menge [mm] $U\cup [/mm] V$ ist sternförmig. Daraus kannst du bereits die Existenz einer Stammfunktion folgern.
Anderenfalls kannst du zeigen, dass man in [mm] $U\cup [/mm] V$ wegunabhängig integrieren kann. Daraus folgte dann ebenfalls die Existenz einer Stammfunktion. Dies folgt aus dem Lemma von Poincaré, wenn du zeigen kannst, dass je zwei Wege mit gleichem Anfangs- und Endpunkten [mm] $a,b\in U\cup [/mm] V$ stets homotop zueinander sind. Dazu schlage ich vor, dass du für einen beliebigen solchen Weg die Homotopie zum Weg [mm] $f_{a,b}:[0,1]\to U\cup [/mm] V$, $f(x)=(1-2x)a$ für [mm] $0\leq x\leq \frac{1}{2}$ [/mm] und $f(x)=(2x-1)b$ für [mm] $\frac{1}{2}\leq x\leq [/mm] 1$ nachweist. Dies geht dank der Sternform der Menge [mm] $U\cup [/mm] V$ recht einfach.
Liebe Grüße,
Hanno
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