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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Fr 11.06.2010 | | Autor: | dazivo |
| Aufgabe | | Gibt es eine Liegruppe mit Rand? |
Hallo zusammen!
Ich habe mir diese frage während meiner Diff'geometrie Hausaufgaben gestellt und konnte sie nicht beantworten. Ich bin mir alle bekannten Liegruppen durchgegangen und habe einfach keine gefunden. Hab auch schon danach gegoogelt und nichts gefunden. Vielleicht kennt jemand gerade eine oder aber einen Beweis, dass Sie keinen besitzen.
Danke schön!
Gruss dazivo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Fr 11.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gibt es eine Liegruppe mit Rand?
>
> Ich habe mir diese frage während meiner Diff'geometrie
> Hausaufgaben gestellt und konnte sie nicht beantworten. Ich
> bin mir alle bekannten Liegruppen durchgegangen und habe
> einfach keine gefunden. Hab auch schon danach gegoogelt und
> nichts gefunden. Vielleicht kennt jemand gerade eine oder
> aber einen Beweis, dass Sie keinen besitzen.
Wenn du eine Translationsabbildung nimmst (diese ist ein Automorphismus!), siehst du, dass eine Lie-Gruppe in irgendeinem Punkt lokal genauso aussieht wie im Ursprung. Sprich, gibt es einen Randpunkt, ist jeder Punkt ein Randpunkt.
Geht das?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Sa 12.06.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo Felix!
Danke für deine schnelle Antwort!
Also mal ganz konkret:
Sei G (dimG = n) eine
Liegruppe und nehme an es existiert ein Randpunkt g.
Da die (sagen wir Links-) Translation
Lg : G -> G , h geht nach gh
(klarerweise mit (Lg)^-1 = L(g)^-1) ein Liegruppenautomorphismus ist, ist jede Umgebung U vom Einheitselement e mit der um g verschobenen Umbegung gU diffeomorph.
Wenn ich jetzt zeigen will, dass e
auch ein Randpunkt ist, brauch ich nur zu bemerken, dass Diffeomorphismen zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rand , Rand auf Rand abbilden, und fertig.
Ich hoffe, die Argumentation ist richtig.
Demzufolge gilt immer Rand(Liegruppe) = leer,
da dim(Rand(G)) = dim(G) -1
Ist das soweit korrekt?
Danke Felix !
Gruss dazivo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Sa 12.06.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo dazivo!
> Also mal ganz konkret:
> Sei G (dimG = n) eine
> Liegruppe und nehme an es existiert ein Randpunkt g.
> Da die (sagen wir Links-) Translation
>
> Lg : G -> G , h geht nach gh
>
> (klarerweise mit (Lg)^-1 = L(g)^-1) ein
> Liegruppenautomorphismus ist, ist jede Umgebung U vom
> Einheitselement e mit der um g verschobenen Umbegung gU
> diffeomorph.
Genau.
> Wenn ich jetzt zeigen will, dass e
> auch ein Randpunkt ist, brauch ich nur zu bemerken, dass
> Diffeomorphismen zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rand ,
> Rand auf Rand abbilden, und fertig.
>
> Ich hoffe, die Argumentation ist richtig.
Ja, wenn du das hier dazunimmst:
> Demzufolge gilt immer Rand(Liegruppe) = leer,
> da dim(Rand(G)) = dim(G) -1
Nun, es gilt $dim(Rand(G)) = dim(G) - 1$ nur dann, wenn $Rand(G)$ nicht [mm] $\emptyset$ [/mm] ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Sa 12.06.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo Felix!
Danke für die Hilfe!
Gruss dazivo
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