Lim O-/U-Summe berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral [mm] $\int_0^1 x^2 [/mm] dx $ mit Hilfe der Zerlegungsnullfolge [mm] $Z_n$.
[/mm]
Berechnen Sie dazu den Grenzwert der Ober- und Untersumme |
Ich bitte um Korrektur & Hinweise bzgl. der Korrektheit :)
[Diese Aufgabe/Frage wurde von mir in keinem anderen Forum gestellt]
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Die Zerlegung lautet $ [mm] Z_n [/mm] : a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b $ mit den Teilintervallen $ [mm] I_k [/mm] = [mm] [x_{k-1}, x_{k}] [/mm] $.
Es gilt:
Breite (= Länge von [mm] $I_k$) [/mm] = [mm] $\Delta x_k [/mm] = [mm] x_k [/mm] - [mm] x_{k-1} [/mm] = [mm] \frac{k}{n} [/mm] - [mm] \frac{k-1}{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
Höhen:
[mm] $m_k [/mm] := inf [mm] f(I_k) \to m_k [/mm] = [mm] f(x_{k-1}) [/mm] = [mm] (x_{k-1})^2 [/mm] = [mm] (\frac{k-1}{n})^2$
[/mm]
und
[mm] $M_k [/mm] := sup [mm] f(I_k) \to M_k [/mm] = [mm] f(x_k) [/mm] = [mm] (x_k)^2 [/mm] = [mm] (\frac{k}{n})^2$
[/mm]
Begründung: Da das Intervall [0, 1] in n gleichgroße Intervalle geteilt werden sollte gibt es insgesamt n+1 x-Werte (nämlich 0, 1/n, 2/n, ..., n/n). << stimmt das so?
Obersumme:
$O = [mm] \sum_{k=1}^n (M_k [/mm] * [mm] \Delta x_k) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^2 [/mm] * 1/n = [mm] \frac{1}{n^3} [/mm] * [mm] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] = [mm] \frac{2n^2+3n+1}{6n^2} [/mm] $
Grenzwert der Obersumme:
Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt: $lim O = 1/3$
Untersumme:
U = [mm] \sum_{k=1}^n (m_k [/mm] * [mm] \Delta x_k) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n (\frac{k-1}{n})^2 [/mm] * 1/n = [mm] \frac{1}{n^3} [/mm] * ( [mm] \sum_{k=1}^n (k^2) [/mm] - [mm] n^2 [/mm] + [mm] 0^2 [/mm] ) = [mm] \frac{1}{n^3} [/mm] * ( [mm] \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] - [mm] n^2)
[/mm]
Grenzwert der Untersumme:
Für $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt: $lim U = 1/3$ (denn [mm] n^2/n^3 [/mm] = 1/n, was ebenfalls gegen 0 strebt; der Rest entspricht der Obersumme).
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Ich habe natürlich bewusst etwas ausführlicher geschrieben, damit evtl. Fehler gleich bemerkt werden :)
Vielen Dank auch im Voraus, wenn sich jemand findet, der da drüber schauen kann und möchte :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral [mm]\int_0^1 x^2 dx [/mm] mit Hilfe der
> Zerlegungsnullfolge [mm]Z_n[/mm].
> Berechnen Sie dazu den Grenzwert der Ober- und Untersumme
>
> Ich bitte um Korrektur & Hinweise bzgl. der Korrektheit :)
> [Diese Aufgabe/Frage wurde von mir in keinem anderen Forum
> gestellt]
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> Die Zerlegung lautet [mm]Z_n : a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b[/mm]
> mit den Teilintervallen [mm]I_k = [x_{k-1}, x_{k}] [/mm].
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> Es gilt:
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> Breite (= Länge von [mm]I_k[/mm]) = [mm]\Delta x_k = x_k - x_{k-1} = \frac{k}{n} - \frac{k-1}{n} = \frac{1}{n}[/mm]
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> Höhen:
> [mm]m_k := inf f(I_k) \to m_k = f(x_{k-1}) = (x_{k-1})^2 = (\frac{k-1}{n})^2[/mm]
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> und
> [mm]M_k := sup f(I_k) \to M_k = f(x_k) = (x_k)^2 = (\frac{k}{n})^2[/mm]
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> Begründung: Da das Intervall [0, 1] in n gleichgroße
> Intervalle geteilt werden sollte gibt es insgesamt n+1
> x-Werte (nämlich 0, 1/n, 2/n, ..., n/n). << stimmt das
> so?
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> Obersumme:
> [mm]O = \sum_{k=1}^n (M_k * \Delta x_k) = \sum_{k=1}^n (\frac{k}{n})^2 * 1/n = \frac{1}{n^3} * \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6n^2}[/mm]
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> Grenzwert der Obersumme:
> Für [mm]n \to \infty[/mm] folgt: [mm]lim O = 1/3[/mm]
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> Untersumme:
> U = [mm]\sum_{k=1}^n (m_k[/mm] * [mm]\Delta x_k)[/mm] = [mm]\sum_{k=1}^n (\frac{k-1}{n})^2[/mm]
> * 1/n = [mm]\frac{1}{n^3}[/mm] * ( [mm]\sum_{k=1}^n (k^2)[/mm] - [mm]n^2[/mm] + [mm]0^2[/mm] )
> = [mm]\frac{1}{n^3}[/mm] * ( [mm]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm] - [mm]n^2)[/mm]
>
> Grenzwert der Untersumme:
> Für [mm]n \to \infty[/mm] folgt: [mm]lim U = 1/3[/mm] (denn [mm]n^2/n^3[/mm] = 1/n,
> was ebenfalls gegen 0 strebt; der Rest entspricht der
> Obersumme).
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>
> Ich habe natürlich bewusst etwas ausführlicher
> geschrieben, damit evtl. Fehler gleich bemerkt werden :)
Alles bestens !
FRED
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> Vielen Dank auch im Voraus, wenn sich jemand findet, der da
> drüber schauen kann und möchte :)
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Hallo und vielen Dank!
Jetzt ist mir doch noch eine Frage zur Aufgabe eingefallen:
Angenommen es würde um das Integral von 0 bis 3 (statt 0 bis 1) gehen:
Breite (= Länge von $ [mm] I_k [/mm] $) = $ [mm] \Delta x_k [/mm] = [mm] x_k [/mm] - [mm] x_{k-1} [/mm] = [mm] \frac{k}{n} [/mm] - [mm] \frac{k-1}{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] - stimmt das dann auch hier? Es sollten ja eigentlich 3/n sein, nicht wahr?
Ich müsste somit $ (b-a)/n $ berechnen, also $ (3-0)/n = 3/n$
Ich sitze (steht/liege) bestimmt mal wieder auf dem Schlauch :)
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Hallo,
> Jetzt ist mir doch noch eine Frage zur Aufgabe
> eingefallen:
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> Angenommen es würde um das Integral von 0 bis 3 (statt 0
> bis 1) gehen:
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> Breite (= Länge von [mm] [mm]I_k[/mm] [/mm]) = $ [mm]\Delta x_k[/mm] = [mm]x_k[/mm] -
> [mm]x_{k-1}[/mm] = [mm]\frac{k}{n}[/mm] - [mm]\frac{k-1}{n}[/mm] = [mm]\frac{1}{n}[/mm] -
> stimmt das dann auch hier? Es sollten ja eigentlich 3/n
> sein, nicht wahr?
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> Ich müsste somit [mm](b-a)/n[/mm] berechnen, also [mm](3-0)/n = 3/n[/mm]
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> Ich sitze (steht/liege) bestimmt mal wieder auf dem
> Schlauch :)
Wenn du an Stelle von k 3k und an Stelle von k-1 3(k-1) nimmst, dann passt das mit den 3/n. 
Gruß, Diophant
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