Limes Superior < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:13 Di 30.08.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | Es gilt: [mm] \alpha:= \limes_{N\rightarrow\infty} [/mm] (sup [mm] \{a_{n}; n > N \}) \gdw
[/mm]
(1) [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
und
(2) [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall [/mm] n > N: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] |
Guten Tag,
ich habe mich an dem Beweis versucht, weiß aber nicht ob er so stimmt.
Beweis: Sei [mm] \alpha_{N}:= sup(a_{n})_{n>N} [/mm] und [mm] \alpha:= \limes_{N\rightarrow\infty} \alpha_{N}. [/mm] Sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Es gibt ein [mm] n_{0} \in \IN, [/mm] so dass [mm] |\alpha_{N} [/mm] - [mm] \alpha| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für alle N [mm] \ge n_{0}. [/mm] d.h [mm] \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] \alpha_{N} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] für N [mm] \ge n_{0}. [/mm] Somit gilt [mm] a_{n} \le \alpha_{N} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + epsilon für alle n > N. Also ist (2) erfüllt.
Da [mm] \alpha [/mm] ein Häufungswert [mm] \Rightarrow \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] \alpha| [/mm] < [mm] \epsilon \gdw \alpha [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon. [/mm] Insbesondere gilt also (1).
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Zu zeigen: [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] \alpha| [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm] Aus (1) folgt direkt [mm] \alpha -\epsilon [/mm] < [mm] a_{n}. (\*)
[/mm]
Nach (2) gilt: [mm] \forall \espilon [/mm] > 0 [mm] \exists N_{0} \in \IN \forall [/mm] n > [mm] N_{0}: a_{n} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
Fall 1: Sei N < [mm] N_{0}. [/mm] Dann gilt: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > [mm] N_{0} [/mm] >N: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
Fall 2: Sei N [mm] \ge N_{0}. [/mm] Dann gilt: [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon.
[/mm]
Aus Fall1, Fall 2 folgt: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: [mm] a_{n} [/mm] < [mm] \epsilon+ \alpha. (\* \*)
[/mm]
Aus [mm] (\*), (\* \*) [/mm] folgt: [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n > N: | [mm] a_{n} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] d.h [mm] \alpha [/mm] ist ein Häufungswert von [mm] (a_{n})_{n \in \IN}. [/mm]
Zeige: [mm] \alpha [/mm] ist größter Häufungswert von [mm] (a_{n})_{n \in \IN}.
[/mm]
Sei H die Menge aller Häufungswerte von [mm] (a_{n})_{n \in \IN}. [/mm] Angenommen [mm] \exists \beta \in [/mm] H: [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta. [/mm] Sei [mm] \epsilon:= \bruch{\beta - \alpha}{2} [/mm] > 0. Dann gilt: [mm] a_{n} [/mm] > [mm] \alpha [/mm] + [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \beta [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] für höchstens endlich viele n [mm] \in \IN [/mm] d.h [mm] \beta [/mm] ist kein Häufungswert von [mm] (a_{n})_{n \in \IN}. [/mm] Somit ist [mm] \alpha [/mm] der größte Häufungswert.
Ist der Beweis so korrekt? Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=465295. Allerdings fehlt hier ein Teil meines Beweises.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 01.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
