Limes Superior (Mengenfolgen) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend an alle! Ich versuche den Limes Superior und Limes Inferior von Mengenfolgen besser zu verstehen und insgesamt einen Überblick über Ungleichungen und mögliche Fragestellungen dazu zu haben.
Wir haben in der Vorlesung folgende Definitionen gehabt:
Sei [mm] $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \mathcal{P}(\Omega)^{\mathbb{N}}$ [/mm] eine Mengenfolge.
[mm] $\inf\limits_{k \ge n} A_{k} [/mm] := Inf( [mm] \{ A_{n}, A_{n + 1} \} [/mm] ) = [mm] \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} A_{k} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega \in A_{j}\quad \forall\; j \ge n \}$ [/mm] und [mm] $\sup\limits_{k \ge n} A_{k} [/mm] := Sup( [mm] \{ A_{n}, A_{n + 1} \} [/mm] ) = [mm] \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} A_{k} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \ge n: \omega \in A_{j} \}$
[/mm]
[mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] := [mm] \sup\limits_{n \in \mathbb{N}} \inf\limits_{k \ge n} A_{k} [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \inf\limits_{k \ge n} A_{k} [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcap\limits_{k = n}^{\infty} A_{k}$ [/mm] und [mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] := [mm] \inf\limits_{n \in \mathbb{N}} \sup\limits_{k \ge n} A_{k} [/mm] = [mm] \bigcap\limits_{n = 1}^{\infty} \bigcup\limits_{k = n}^{\infty} A_{k}$
[/mm]
Nun gibt es für den Limes Superior und den Limes Inferior eine Interpretation.
Ich habe versucht, die Mengen umzuschreiben:
Es ist [mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in \inf\limits_{k \ge j} \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in A_{n}\quad \forall\; n \ge j \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in fast allen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}$
[/mm]
Es ist [mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega \in \sup\limits_{k \ge n} A_{k}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; l \ge n: \omega \in A_{l}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in unendlich vielen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}$
[/mm]
Ist das so mathematisch korrekt aufgeschrieben?
Zudem habe ich zum Limes Superior und Limes Inferior ein paar Ungleichungen recherchiert, um mich mit den beiden Begriffen warm zu werden. Ich habe bis jetzt folgende gefunden:
(1) [mm] $\emptyset \subseteq \liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} \subseteq \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} \subseteq \Omega$
[/mm]
(2) [mm] $(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n})^{c} [/mm] = [mm] \limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}^{c}$ [/mm]
(3) [mm] $\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \left \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} I_{A_{n}}(\omega) = \infty \right \}$ [/mm] und [mm] $\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \left \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \sum\limits_{n \in \mathbb{N}} I_{A_{n}^{c}}(\omega) < \infty \right \}$
[/mm]
(4) [mm] $\mu(\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n}) \le \liminf\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$ [/mm] und [mm] $\mu(\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n}) \ge \limsup\limits_{n \to \infty} \mu(A_{n})$
[/mm]
Für (1) - (3) habe ich einen Lösungsansatz.
Bei der (4) tu ich mich aber ziemlich schwer. Hätte jemand eine Idee, wie man ansetzen könnte?
Liebe Grüße,
Andrej
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Hiho,
> Es ist [mm]\liminf\limits_{n \to \infty} A_{n} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in \inf\limits_{k \ge j} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; j \in \mathbb{N} : \omega \in A_{n}\quad \forall\; n \ge j \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in fast allen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}[/mm]
Bis auf die Tatsache, dass du in der ersten Menge vergessen hast, die [mm] $A_k$ [/mm] zu notieren: Ja.
Zum Verständnis: Man kann auch sagen, dass im Limes inferior alle Elemente enthalten sind, die ab einem bestimmten [mm] $A_{n_0}$ [/mm] in allen folgenden [mm] $A_n$ [/mm] enthalten sind.
Das entspricht der Formulierung "in fast allen".
> Es ist [mm]\limsup\limits_{n \to \infty} A_{n} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega \in \sup\limits_{k \ge n} A_{k}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \exists\; l \ge n: \omega \in A_{l}\quad \forall\; n \in \mathbb{N} \} = \{ \omega \in \Omega\; \vert \; \omega\; \text{ist in unendlich vielen}\; A_{n}\; \text{enthalten} \}[/mm]
Auch hier eine etwas flapisgere Formulierung zum Verständnis: Der Limes superior enthält alle Elemente, die immer mal wieder in einem [mm] $A_n$ [/mm] vorkommen, egal wie lang man "läuft". Das entspricht der "in unendlich vielen" Definition.
> Bei der (4) tu ich mich aber ziemlich schwer. Hätte
> jemand eine Idee, wie man ansetzen könnte?
Zeige: [mm] $\liminf_{n\to\infty} A_n \subseteq A_n$. [/mm] Der Rest folgt aus der Monotonie des Maßes. Für [mm] $\limsup$ [/mm] analog.
Gruß,
Gono
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