Limes Supremum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Fr 16.12.2005 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Beweise: Ist [mm] $(a_{n})_{1}^{\infty}$ [/mm] eine beschränkte Folge in [mm] $\IR$, [/mm] so gilt für die durch [mm] $a_{n}^{+}= \sup_{k \ge n} a_{k}$ [/mm] definierte Folge
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}^{+} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \sup_{n\rightarrow\infty} a_{n}$ [/mm] |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Also bevor ich überhaupt an diesen beweis kann müsste ich das erst einmal verstehen...
Ich weiß das [mm] sup_{k \ge n} a_{k} [/mm] = sup {x [mm] \in \IR [/mm] : gibt k [mm] \ge [/mm] n in [mm] \IN [/mm] mit x = [mm] a_{k} [/mm] } gilt und dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_{n -> \infty} a_{n} [/mm] = inf {x [mm] \in \IR [/mm] : {N [mm] \in \IN: a_{n} [/mm] > x} beschränkt } ist.
Aber ich versteh schon garnicht, wie dann [mm] a_{n}^{+} [/mm] eine Folge sein soll, wenn das doch nur das supremum von einer menge ist.
Ich hab irgendwie überhaupt keine Ahnung wie ich bei diesem Beweis auch nur anfangen könnte, also bitte bitte bitte ;) helft mir!
Danke schonmal, Kati
|
|
| |
|
Hallo Kati,
also erst mal: Kann es sein, dass in Deiner Formulierung ein Dreher ist ? Ich wuerd
vermuten, dass gezeigt werden soll:
[mm] \lim_{n\to\infty} a_n^+ [/mm] = [mm] \lim\sup_{n\to\infty} a_n [/mm] ?
Mal angenommen, das sei so. Also, es ist doch zunaechst mal fuer alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] \sup_{m\geq n} a_m \in\{x\in\IR | nur endl. viele a_n>x\}=: [/mm] I und somit
also [mm] a_n^+\geq \inf [/mm] I =_{def.} [mm] \lim\sup_{n\to\infty} a_n [/mm] fuer alle n.
Die Folge [mm] (a_n^+) [/mm] ist sicherlich monoton fallend. Jedes Folgenglied von [mm] (a_n^+)
[/mm]
ist in der Menge I.
Probieren wir doch zu zeigen, [mm] da\3 [/mm] wir auch jedes [mm] x\in [/mm] I durch die Folge [mm] (a_n^+)
[/mm]
''unterlaufen'' koennen:
Sei also [mm] x\in [/mm] I, und sei [mm] n\in \IN [/mm] maximal so, dass [mm] a_n>x [/mm] ( nur endlich viele solche
existieren).
Dann sind doch die [mm] a_m,m>n [/mm] alle [mm] \leq [/mm] x. Somit ist aber auch
[mm] a_n^+=\sup_{m\geq n}a_m \leq [/mm] x.
Damit gilt also [mm] \lim_{n\to\infty}\sup_{m\geq n}a_m =\inf [/mm] I,
und das war zu zeigen.
Hoffentlich hilft es Dir weiter !
Viele Gruesse,
Mathias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 17.12.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Fragen noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hi!
Also ein bisschen zum verständnis beigetragen hat die antwort schon, trotzdem hab ich dazu noch ein paar fragen.
Also erstens ist mir immer noch nicht klar wieso [mm] a_{n}^{+} [/mm] eine folge sein soll. das ist noch das supremum von einer menge???
Und wieso sollte diese folge monoton fallend sein, das würd ich nur verstehen, wenn auch [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend wäre, aber das weiß man ja nicht, oder?
Und diesen letzten schuss versteh ich auch nicht so ganz. wie kommst du plötzlich auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sup_{m \ge n} a_{m} [/mm] = inf I ?
gruß katrin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 So 18.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
an+ ist eine Folge, nimm etwa an=1/n sup k>1 ist 1/2: sup k>2 ist 1/3 supk>n ist 1/(n+1), du nimmst ja wegen k>n das sup immer über eine andere Menge.
Dass an monoton fällt ist einfach nicht wahr, sowohl die Folge 1+1/n als auch 1-1/n ist beschrankt, die eine ist fallen, die andere steigend und an=1 ist weder noch, da hast du also recht.
Vielleicht kommst du jetzt mit dem Beweis klar, ich hab ihn mir nicht überlegt, manchmal hilft es aber,sich das erst mal an ganz einfachen Folgen zu überlegen, und dann zu verallgemeinern.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 18.12.2005 | | Autor: | piet.t |
Aufpassen!!
Mathias hat ja nie behauptet, dass [mm](a_n)[/mm] monoton fallend ist, sondern [mm](a_n^+)[/mm]!!
Und das ist sicher wahr, denn das Supremum wird ja mit wachsendem n über eine immer kleibere Menge gebildet und wird dadurch sicher nicht größer, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Di 20.12.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Piet
Danke, dass du das genauer erläutert hast.
Gruss leduart
|
|
|
|
