Limes bei Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 26.01.2010 | | Autor: | Annyy |
| Aufgabe | limes von [mm] (sinh(x)-x)/x^3 [/mm] für x gegen null.
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hallo alle zusammen
streber grad für meine erste prüfung auf der uni morgen (analysis 1...angst) und häng da wiedermal bei einem beispiel.
also, zu berechnen ist der limes von
[mm] (sinh(x)-x)/(x^3) [/mm] für x gegen null.
ich bin mir nicht ganz sicher, ob wir differenzialrechnung verwenden dürfen...offiziell ist sie nicht beim stoff für die prüfung dabei, durchgemacht haben wir sie schon teilweise...
laut funktionsgraph soll für x gegen null irgendwas in der richtung von 0,17 oder so rauskommen...aber eben nur aus der zeichnung abgelesen.
ich würde mich über lösungsansätze freuen!
lg, anna
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Hallo Anna,
> limes von [mm](sinh(x)-x)/x^3[/mm] für x gegen null.
>
> hallo alle zusammen
> streber grad für meine erste prüfung auf der uni morgen
> (analysis 1...angst) und häng da wiedermal bei einem
> beispiel.
>
> also, zu berechnen ist der limes von
> [mm](sinh(x)-x)/(x^3)[/mm] für x gegen null.
>
> ich bin mir nicht ganz sicher, ob wir differenzialrechnung
> verwenden dürfen...offiziell ist sie nicht beim stoff für
> die prüfung dabei, durchgemacht haben wir sie schon
> teilweise...
> laut funktionsgraph soll für x gegen null irgendwas in
> der richtung von 0,17 oder so rauskommen...aber eben nur
> aus der zeichnung abgelesen.
> ich würde mich über lösungsansätze freuen!
Schnell bist du dabei mit der Regel von de l'Hôpital:
Bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ ergibt sich der unbestimmte Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also kannst du die besagte Regel anwenden.
Leite Zähler und Nenner getrennt ab und untersuche dann erneut das Verhalten für [mm] $x\to [/mm] 0$
Bedenke, dass du besagte Regel natürlich auch mehrfach anwenden darfst, wenn die Voraussetzungen erfüllt sind ...
> lg, anna
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 26.01.2010 | | Autor: | Annyy |
gut, ich leite also ab, wobei ich sinh als [mm] (e^x [/mm] - e^(-x))/2 auffasse (oder gibt es eine direkte ableitung von sinh(x)? )
komme also auf die umgeformte form der funktion von
[mm] 2x^3/(e^x-e^{-x}-2x)
[/mm]
zähler und nenner getrennt ableiten
...
komm ich letztendlich auf [mm] 12/(e^x+e^{-x}) [/mm] was ja für x gegen null 6 wäre. das stimmt aber so gar nicht mit dem funktionsgraph überein, den mir http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm ausgespuckt hat...
kannst du mir sagen, wo mein fehler liegt?
vielleicht kann ich einfach nicht mehr richtig ableiten...matura ist schon ein zeital her, da hab ich das das letzte mal gebraucht :)
lg und danke
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Hallo nochmal,
> gut, ich leite also ab, wobei ich sinh als [mm](e^x[/mm] - e^(-x))/2
> auffasse (oder gibt es eine direkte ableitung von sinh(x)?
Ja, gibt es, das siehst du, wenn du mal [mm] $\sinh(x)=\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x-e^{-x}\right)$ [/mm] ableitest und mit [mm] $\cosh(x)$ [/mm] vergleichst ...
> )
>
> komme also auf die umgeformte form der funktion von
>
> [mm]2x^3/(e^x-e^{-x}-2x)[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") doch genau der Kehrbruch davon ...
Die Funktion lautet [mm] $\frac{\sinh(x)-x}{x^3}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\frac{e^x-e^{-x}}{2}-x}{x^3}$
[/mm]
Weiter würde ich nicht zusammenfassen, da die Ableitungen von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)$ [/mm] so wunderbar zusammenhängen ...
Die Ableitung des Zählers ist [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\left(e^x\red{+}e^{-x}\right)-1=\cosh(x)-1$
[/mm]
Die des Nenners [mm] $3x^2$
[/mm]
Zusammen also [mm] $\frac{\cosh(x)-1}{3x^2}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\frac{1-1}{3\cdot{}0}=\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital ...
Dann vllt. nochmal ?!
>
> zähler und nenner getrennt ableiten
>
> ...
>
> komm ich letztendlich auf [mm]12/(e^x+e^{-x})[/mm] was ja für x
> gegen null 6 wäre. das stimmt aber so gar nicht mit dem
> funktionsgraph überein, den mir
> http://www.walterzorn.de/grapher/grapher.htm ausgespuckt
> hat...
>
> kannst du mir sagen, wo mein fehler liegt?
> vielleicht kann ich einfach nicht mehr richtig
> ableiten...matura ist schon ein zeital her, da hab ich das
> das letzte mal gebraucht :)
>
> lg und danke
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 26.01.2010 | | Autor: | Annyy |
stimmt, hab in den kehrwert eingesetzt...mit dem hab ich nämlich auch schon eine zeit lang herumgespielt, und jetzt sind mir meine zetteln durcheinandergekommen :)
also gut, der zusammenhang zwischen sinh und cosh ist mir jetzt klar
(sinhx)' = coshx
und (coshx)' ist wieder sinhx
stimmt das?
also nochmal die ableitungen von vorn:
[mm] (sinh(x)-x)/(x^3)
[/mm]
einmal l'hospital
[mm] (cosh(x)-1)/(3*x^2)
[/mm]
nochmal l'hospital
sinh(x)/(6*x)
und nochmal
cosh(x)/6
für x gegen 0 ist der cosh(x) ja 1, also ist der limes 1/6, was sich auch wunderbar mit dem graphen deckt.
bin ich jetzt auf der richtigen spur?
und nochmal eine frage allgemein:
könnte man das beispiel rein theoretisch auch ohne l'hospital lösen? (weil ja differenzieren noch nicht im stoff ist....ich glaub dadurch, dass wir es jedoch bei in der vo gemacht haben, dürfte die verwendung kein problem sein)...irgendwie mit der reihendarstellung der exponentialfunktion oder würde das die grenzen einer prüfung sprengen?
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Hallo nochmal,
> stimmt, hab in den kehrwert eingesetzt...mit dem hab ich
> nämlich auch schon eine zeit lang herumgespielt, und jetzt
> sind mir meine zetteln durcheinandergekommen :)
>
> also gut, der zusammenhang zwischen sinh und cosh ist mir
> jetzt klar
> (sinhx)' = coshx
> und (coshx)' ist wieder sinhx
> stimmt das?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Aber ja, schön, gell?
>
> also nochmal die ableitungen von vorn:
>
> [mm](sinh(x)-x)/(x^3)[/mm]
>
> einmal l'hospital
>
> [mm](cosh(x)-1)/(3*x^2)[/mm]
>
> nochmal l'hospital
>
> sinh(x)/(6*x)
>
> und nochmal
>
> cosh(x)/6
>
> für x gegen 0 ist der cosh(x) ja 1, also ist der limes
> 1/6, was sich auch wunderbar mit dem graphen deckt.
>
> bin ich jetzt auf der richtigen spur?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, du solltest dich (und deinen Tutor oder Korrekteur) nur jedes Mal vor der Anwendung von de l'Hôpital davon überzeugen, dass die Voraussetzungen für die Regel auch erfüllt sind ...
>
>
> und nochmal eine frage allgemein:
> könnte man das beispiel rein theoretisch auch ohne
> l'hospital lösen? (weil ja differenzieren noch nicht im
> stoff ist....ich glaub dadurch, dass wir es jedoch bei in
> der vo gemacht haben, dürfte die verwendung kein problem
> sein)...irgendwie mit der reihendarstellung der
> exponentialfunktion oder würde das die grenzen einer
> prüfung sprengen?
Naja, Reihendarstllung geht auch, klar, aber die "bekommt" man eigentlich erst durch die Taylorentwicklungen, für die heftigst differenziert werden muss.
Ein kleines Bsp.
Der [mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}$ [/mm] ist bekanntermaßen 1
Das sieht man mit de l'Hôpital schnell ein, aber auch durch die Reihendarstellung:
Es ist [mm] $\sin(x)=\sum\limtis_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}\cdot{}x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\mathcal{O}\left(x^7\right)$ [/mm] für [mm] $x\to [/mm] 0$
Also [mm] $\frac{\sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+\mathcal{O}\left(x^6\right) [/mm] \ [mm] \longrightarrow 1-0+0\mp [/mm] ...=1$
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Di 26.01.2010 | | Autor: | Annyy |
Danke für die Hilfe, jetzt ists für morgen schon ein bisschen weniger aussichtslos :)
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