Limes für n-te Wurzel aus n < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich habe eine Frage zu [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel[n]{n})=1
[/mm]
Ist es erlaubt, den limes bei Potenzen so zu schreiben:
[mm] \wurzel[n]{n}=exp(\bruch{ln(n)}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}exp(\bruch{ln(n)}{n})=exp(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(n)}{n})
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{ln(n)}{n} [/mm] ist nach der Regel von L'Hospital 0.
Also exp(0)=1
darf man das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 10.02.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Man darf das so tun, aber man sollte ein wenig aufpassen, und begründen, warum das geht, vor allem, warum darf ich [mm] \exp [/mm] und [mm] \limes [/mm] "vertauschen".
$$ [mm] \limes_{n\to\infty}\wurzel[n]{n} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{Wurzelgesetze}}{=}\limes_{n\to\infty}n^{\bruch{1}{n}} [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{''erweitern"}}{=}\limes_{n\to\infty}\exp\left(\ln\left(n^{\bruch{1}{n}}\right)\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{Logarithmusgesetze}}{=}\limes_{n\to\infty}\exp\left(\bruch{\ln(n)}{n}\right) [/mm] $$
$$ [mm] \stackrel{\text{Warum darf ich das?}}{=}\exp\left[\limes_{n\to\infty}\bruch{\ln(n)}{n}\right] [/mm] $$
Marius
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hey danke,
ok...mhm
Die Begründen wäre doch, dass nur im Exponent die "n" drin sind und nur die gegen unendlich streben.
Bei [mm] n^{1/n} [/mm] darf man den Limes nicht in den limes für den exponenten und den limes für die basis trennen.
Oder ist diese Begründung falsch oder gibts eine andere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Roxas_Roxas!
Nein, die Begründung stimmt nicht. Denke mal in die Richtung "Stetigkeit".
Gruß
Loddar
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mhm
also einen Satz, der sich hier auf die Stettigkeit bezoeht,kenne ich nicht.
exp(x) ist eine stetige funktion und ln(n)/n ist stetig auf (0,unendlich)
sonst fällt mir nichts dazu ein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Mi 10.02.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> mhm
> also einen Satz, der sich hier auf die Stettigkeit
> bezoeht,kenne ich nicht.
> exp(x) ist eine stetige funktion und ln(n)/n ist stetig
> auf (0,unendlich)
> sonst fällt mir nichts dazu ein
die Bezeichnung [mm] $\ln(n)/n$ [/mm] gefällt mir nicht, denn Du meinst eher die Funktion [mm] $(0,\infty) \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \ln(x)/x\,.$ [/mm]
[mm] ($\ln(n)/n$ [/mm] würde suggerieren, dass Du die Funktion [mm] $\IN \to \IR, [/mm] n [mm] \mapsto \ln(n)/n$ [/mm] meinst; diese ist selbstverständlich auch stetig, da jeder Punkt des Definitionsbereichs bzgl. der üblichen Metrik auf [mm] $\IR$ [/mm] hier eine natürliche Zahl ist, was bedeutet, dass jeder Punkt des Definitionsbereiches hier ein isolierter Punkt ist.)
Um [mm] $\lim_{n \to \infty} \exp(\ln(n)/n)=\exp\left(\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}\right)$ [/mm] einzusehen, bedarf es (wenn man Satz 10.9 in Verbindung mit Satz 10.7 von ![[]](/images/popup.gif) hier verwendet) folgendes:
1.) Stetigkeit der Exponentialfunktion (in [mm] $y_0=0$).
[/mm]
2.) Es existiert [mm] $y_0:=\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}$ [/mm] (und ist [mm] $=0\,$). [/mm]
Die logische Vorgehensweise ist hier allerdings so:
Wir starten mit 2.):
Dazu sei $f: [mm] (0,\infty) \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=\ln(x)/x\,.$ [/mm] Nach Hospital ist dann [mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1}=0\,.$ [/mm] Nach Satz 10.7 gilt dann auch für die Folge [mm] $(x_n)_{n \in \IN}:\equiv(n)_{n \in \IN}$
[/mm]
[mm] $$\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)}{n}=0\,.$$
[/mm]
Also: Bzgl. Satz 10.9, in Verbindung mit Satz 10.7, ist hier
[mm] $$y_0=\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)}{n}=0\,.$$
[/mm]
Nun benutzen wir 1.):
Die Exponentialfunktion ist (insbesondere an der Stelle [mm] $y_0=0$) [/mm] stetig (und in [mm] $y_0=0$ [/mm] definiert) mit [mm] $\exp(y_0)=\exp(0)=1\,,$ [/mm] woraus dann (mit den Sätzen 10.9 und 10.7) die Behauptung folgt.
P.S.:
Wenn ich von Satz 10.9 in Verbindung mit Satz 10.7 spreche, so meine ich:
Anstatt in Satz 10.9 [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=y_0$ [/mm] zu schreiben, kann man diesen Satz alternativ umformulieren mit:
Sei [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_0=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und [mm] $y_0=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ [/mm] (d.h. die Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] ist konvergent gegen [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $(f(x_n))_n$ [/mm] ist konvergent gegen [mm] $y_0$).
[/mm]
Also präziser gilt folgender Satz:
Seien [mm] $(X,d_X)$ [/mm] und [mm] $(Y,d_Y)$ [/mm] metrische Räume, $f:X [mm] \to [/mm] Y$ und $g: Y [mm] \to Z\,.$ [/mm] Ferner sei $X [mm] \ni x_0:=\lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und $Y [mm] \ni y_0:=\lim_{n \to \infty}f(x_n)\,.$ [/mm] Dann gilt:
[mm] $\text{Falls zudem }g \text{ stetig in }y_0 \in [/mm] Y [mm] \text{ist, so folgt }$\lim_{n \to \infty}(g \circ f)(x_n)=g(\lim_{n \to \infty}f(x_n))=g(y_0\,.)$
[/mm]
Diesen Satz kannst Du hier verwenden, wobei dann:
[mm] $\bullet$ $x_n=n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ $f(x)=\ln(x)/x$ [/mm] (wobei man z.B. $f: [mm] (0,\infty) \to \IR$ [/mm] betrachten kann)
[mm] $\bullet$ $y_0=0$ [/mm] (siehe oben, 2.)!)
[mm] $\bullet$ $g(x)=\exp(x)$ [/mm] (z.B. [mm] $g\,$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR \to \IR$)
[/mm]
P.S.:
Ganz korrekt ist das von mir gesagte hier nicht, da hier ja [mm] $\lim_{n \to \infty} x_n=\lim_{n \to \infty}n=\infty \notin \IR$ [/mm] ist. (In Satz 10.9 wäre übrigens auch [mm] $x_0=\infty \notin \IR\,.$) [/mm] Ob Du diesen Satz bzw. entsprechendes nun umformulieren willst, so dass Du für speziell [mm] $X=\IR$ [/mm] oder [mm] $X=\IC$ [/mm] dann auch [mm] $x_0=\infty$ [/mm] miteinschließen kannst, hängt davon ab, wie penibel Du damit arbeiten willst (musst/kannst/...). Ich überlasse Dir entsprechende Überlegungen auch gerne als Übungsaufgabe 
Evtl. kann man anstatt [mm] $X=\IR$ [/mm] dann auch [mm] $\IR \cup \{-\infty,\infty\}$ [/mm] (mit [mm] $\infty,-\infty \notin \IR$) [/mm] und anstatt [mm] $\IC$ [/mm] dann [mm] $\IC \cup \{\infty\}$ [/mm] (mit [mm] $\infty \notin \IC$), [/mm] mit entsprechend erweiterter Metrik, betrachten, um den Satz in seiner obigen Form verwenden zu können.
Beste Grüße,
Marcel
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