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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Tilo42 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen
f (x) = -x² + 4
g(x) = x² - 5x + 6
a) Berechnen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{f(x)}{g(x)}
[/mm]
b) Zeigen sie, dass sich die Tangentender Graphen in den Schnittpunkten der Graphen von f und g unter den gleichen Winkeln schneiden. |
a) Habe ich eingesetzt, aber komme nicht weiter, wie soll ich weitterechnen bei:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{ -x^2+4}{ x^2-5x+6}
[/mm]
b) Habe ich die Steigungen der Tangenten berechnet und komme auf -4 und -1, weiß aber nicht wie ich jetzt damit sagen kann, dass sie sich unter den gleichen winkeln schneiden
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> Gegeben sind die Funktionen
> f (x) = -x² + 4
> g(x) = x² - 5x + 6
>
> a) Berechnen Sie [mm]\limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{f(x)}{g(x)}[/mm]
>
> b) Zeigen sie, dass sich die Tangentender Graphen in den
> Schnittpunkten der Graphen von f und g unter den gleichen
> Winkeln schneiden.
> a) Habe ich eingesetzt, aber komme nicht weiter, wie soll
> ich weitterechnen bei:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{ -x^2+4}{ x^2-5x+6}[/mm]
Hast du kein Vorgehen zur Grenzwertberechnung gelernt? Hier kannst du durch die höchste Potenz teilen oder noch eleganter den Satz von de l'Hôpital anwenden, was dir beides recht schnell $ lim=-1 $ liefern wird
>
> b) Habe ich die Steigungen der Tangenten berechnet und
> komme auf -4 und -1, weiß aber nicht wie ich jetzt damit
> sagen kann, dass sie sich unter den gleichen winkeln
> schneiden
Und warum nicht? Ich habe die Werte nicht überprüft, aber schau dann mal in Formelsammlungen oder hier im Forum den Zusammenhang zwischen [mm] tan(\alpha) [/mm] und der Steigung m nach :) Sprich wenn du den Schnittpunkt ermittelt hast und die STeigung der Geraden kennst, kannst du dir mit einer Skizze und etwas Überlegen mit [mm] tan(\alpha) [/mm] die entsprechenden Winkel und dann auch den schnittwinkel bestimmen bzw dir ne vorgefertigte Formel für Schnittpunkte suchen
Nachtrag: Esg eht noch viel einfacher, du kannst dir das mit den Schnittwinkeln komplett sparen, denn es ist nur gefragt, dass man zeigen soll, dass die Winkel dientisch sind! Nun gibt es ja zwei Schnittpunkte, ich bin erst von einem ausgegangen, daher der Nachtrag:
Bei beiden schnittpunkten [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=0,5 [/mm] ergeben sich identische Tangentensteigungen, einmal ist die eine Steigung -4 und die andere -1 und beim zweiten Schnittpunkt sind die Steigungen gerade umgekehrt. Damit liegen aber an beiden Punkten zweimal die selben Tangenten vor, damit müssen auch die Schnittwinkel identisch sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Tilo42 |
b) habe ich verstanden, danke
aber bei a müsste dann doch dort stehen
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{-2x}{2x-5}
[/mm]
durch umformen und ausklammern komme ich dann auf:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x } \bruch{-1}{-1,5}
[/mm]
ist das falsch oder richtig?
wenn nicht wäre der lösungsweg sehr nett, da ich nicht genau weiß wie ich hier vorgehen soll
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Hallo, wende L'Hospital zweimal an, sicherlich ist auch [mm] x\to\infty [/mm] gemeint
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-x^{2}+4}{x^{2}-5x+6}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-2x}{2x-5}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{-2}{2}
[/mm]
du kannst natürlixh auch [mm] x^{2} [/mm] ausklammern
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Tilo42 |
ok, aber wenn ich x ausklammere, wo ist dann die -5 hin?
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Hallo, na gut klammern wir aus
[mm] \bruch{x^{2}(-1+\bruch{4}{x^{2}})}{x^{2}(1-\bruch{5}{x}+\bruch{6}{x^{2}})}
[/mm]
[mm] x^{2} [/mm] kannst du kürzen, überlege dir, was passiert mit den Termen [mm] \bruch{4}{x^{2}}, -\bruch{5}{x} [/mm] und [mm] \bruch{6}{x^{2}} [/mm] für x gegen unendlich
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Tilo42 |
achja verstehe
bei -5 wäre es dann -5/x und bei x gegen unendlich wird es zu 0, dankeschön ;D
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