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Forum "Folgen und Reihen" - Limesregeln - Konvergenz
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Limesregeln - Konvergenz: wie soll man sowas berechnen ?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:10 Sa 01.09.2012
Autor: tunahan

Aufgabe
Untersuchen Sie mit den Limesregeln, ob die nachstehenden Folgen konvergieren. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert.
[mm] b_n := \left\{ \begin{array}{l l} \frac{1+n}{n} & \quad \text{falls $n$ is ungerade }\\ \frac{1-n}{n} & \quad \text{falls $n$ is gerade}\\ \end{array} \right.[/mm]  für [mm] n \geq 1 [/mm]

meiner Meinung nach oberste Folge geht so weiter
[mm]2+\frac{4}{3}+\frac{6}{5}+\frac{8}{7}...[/mm]
also es konvergiert nicht weil zähler immer grosser ist
als der nenner, also  immer >1  
und beim untere Folge
[mm]\frac{-1}{2}+\frac{-3}{4}+\frac{-5}{6}+\frac{-7}{8}[/mm]
es konvergiert weil Zähler kleiner als Nenner ist somit es ist <1 oder -1
meine Frage ist, wie kann man sowas zeigen sodass man von diesem Frage beim
Klausur volle Punktzahl bekommt..

LG tunahan

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Folge <-> Reihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Sa 01.09.2012
Autor: Loddar

Hallo tunahan!


Warum addierst Du hier die einzelnen Terme auf? Davon steht doch überhaupt nichts in der Aufgabenstellung.

Du sollst hier die o.g. Folge untersuchen, und keine Reihe.


Dann hast Du richtig erkannt, dass man zunächst beide Teilfolgen separat betrachtet und den Grenzwert bestimmt. Stimmen beide Werte überein, hat auch die Gesamtfolge diesen Grenzwert.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:49 Sa 01.09.2012
Autor: tunahan


> Hallo tunahan!
>  
>
> Warum addierst Du hier die einzelnen Terme auf? Davon steht
> doch überhaupt nichts in der Aufgabenstellung.
>  
> Du sollst hier die o.g. Folge untersuchen, und keine
> Reihe.
>  
>
> Dann hast Du richtig erkannt, dass man zunächst beide
> Teilfolgen separat betrachtet und den Grenzwert bestimmt.
> Stimmen beide Werte überein, hat auch die Gesamtfolge
> diesen Grenzwert.
>  

Hallo Loddar,

Konntest du bitte eine ähnliche Beispielsaufgabe für mich
machen ? Weil ich weiss nicht wie ich anfangen kann und
es sogut mache sodass ich von diesem Frage volle Punktzahl bekomme..

LG tunahan


Bezug
                        
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 01.09.2012
Autor: Valerie20

Hi!


> > Warum addierst Du hier die einzelnen Terme auf? Davon steht
> > doch überhaupt nichts in der Aufgabenstellung.
>  >  
> > Du sollst hier die o.g. Folge untersuchen, und keine
> > Reihe.
>  >  
> >
> > Dann hast Du richtig erkannt, dass man zunächst beide
> > Teilfolgen separat betrachtet und den Grenzwert bestimmt.
> > Stimmen beide Werte überein, hat auch die Gesamtfolge
> > diesen Grenzwert.
>  >  
>

Bestimme zunächst die Grenzwerte deiner Teilfolgen. Dann beachte den Tipp von Loddar.

Valerie
  


Bezug
                                
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 01.09.2012
Autor: tunahan


>
> Bestimme zunächst die Grenzwerte deiner Teilfolgen. Dann
> beachte den Tipp von Loddar.
>  

Keine Konvergenz für  ungerade [mm] b_n [/mm] = 1 + 1/n ---> 1 und für gerade [mm] b_n [/mm] = 1/n - 1 ---> -1
und wie soll man sowas in Klausur zeigen oder ist es genug ?

Bezug
                                        
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Sa 01.09.2012
Autor: Sigrid


> >
> > Bestimme zunächst die Grenzwerte deiner Teilfolgen. Dann
> > beachte den Tipp von Loddar.
>  >  
>
> Keine Konvergenz für  ungerade [mm]b_n[/mm] = 1 + 1/n ---> 1 und
> für gerade [mm]b_n[/mm] = 1/n - 1 ---> -1
>  und wie soll man sowas in Klausur zeigen oder ist es genug

> ?

Das reicht nicht, da Du ja den Nachweis mit den Limesregeln führen sollst. Ich vermute, damit sind die Grenzwertsätze gemeint.
Du kannst die beiden Brüche durch n kürzen, dann lässt sich der Grenzwert berechnen.
Gruß
Sigrid

Bezug
                                                
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: ok
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:28 Sa 01.09.2012
Autor: tunahan


> > >
> > > Bestimme zunächst die Grenzwerte deiner Teilfolgen. Dann
> > > beachte den Tipp von Loddar.
>  >  >  
> >
> > Keine Konvergenz für  ungerade [mm]b_n[/mm] = 1 + 1/n ---> 1 und
> > für gerade [mm]b_n[/mm] = 1/n - 1 ---> -1
>  >  und wie soll man sowas in Klausur zeigen oder ist es
> genug
>
> > ?
>
> Das reicht nicht, da Du ja den Nachweis mit den Limesregeln
> führen sollst. Ich vermute, damit sind die Grenzwertsätze
> gemeint.
>  Du kannst die beiden Brüche durch n kürzen, dann lässt
> sich der Grenzwert berechnen.
>  Gruß
>  Sigrid

Danke für den Tipp,

LG tunahan

Bezug
                                        
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Sa 01.09.2012
Autor: Richie1401

Hallo tunahan,

abschließend würde ich dann direkt notieren:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm]
Da jede Teilfolge $ a'_n $ einer konvergenten Folge [mm] a_n [/mm] denselben Grenzwert [mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] besitzt, ist die Folge [mm] b_n [/mm] nicht konvergent. [mm] b_n [/mm] ist divergent.

So, würde ich es in der Klausur notieren.

Bezug
                                                
Bezug
Limesregeln - Konvergenz: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 Sa 01.09.2012
Autor: tunahan


> Hallo tunahan,
>  
> abschließend würde ich dann direkt notieren:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\begin{cases} 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \\ -1, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \end{cases}[/mm]
>  
> Da jede Teilfolge [mm]a'_n[/mm] einer konvergenten Folge [mm]a_n[/mm]
> denselben Grenzwert [mm]a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm]
> besitzt, ist die Folge [mm]b_n[/mm] nicht konvergent. [mm]b_n[/mm] ist
> divergent.
>  
> So, würde ich es in der Klausur notieren.

Danke dass war die Antwort die ich gerne hören wollte :)

LG tunahan

Bezug
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