Lin.Abb. und Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K und L:V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Ist U ein Untervektorraum von V, so ist L(U) ein Untervektorraum von W.
(b) Ist X ein Untervektorraum von W, so [mm] L^{-1} [/mm] = {v [mm] \in [/mm] V | L(v) [mm] \in [/mm] X} ein Untervektorraum von V.
(c) Für Untervektorräume U und U' von V gilt L(U+U') = L(U) + L(U').
(d) Für [mm] v_1,...,v_k \in [/mm] V, k [mm] \in \IN_0 [/mm] ist [mm] L(sp(v_1,...,v_k)) [/mm] = [mm] sp(L(v_1),...,L(v_k)). [/mm] |
Hallo, wäre sehr nett wenn sich mal jemand meine Lösung/Ansätze durchlesen könnte und mir sagt ob das so ok ist, oder ob ich da Blödsinn erzähle. Also zu (a)
1. L(U) [mm] \not= \emptyset, [/mm] denn es gilt 0 [mm] \in [/mm] U, da U Untervektorraum ist und L(0) = 0, da L linear ist.
2. Abgeschlossenheit bzgl. Addition:
Seien [mm] v=L(u_v) [/mm] und [mm] w=L(u_w) \in [/mm] L(U) und [mm] u_v, u_w \in [/mm] U, dann gilt [mm] v+w=L(u_v) [/mm] + [mm] L(u_w) [/mm] = [mm] L(u_v [/mm] + [mm] u_w) \in [/mm] L(U), zudem gilt [mm] u_v [/mm] + [mm] u_w \in [/mm] U, da U als UVR additiv abgeschlossen ist.
3. Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation
Seien [mm] w=L(u_w) \in [/mm] L(U), [mm] u_w \in [/mm] U und [mm] \lambda \in [/mm] K, dann gilt [mm] \lambda [/mm] * w= [mm] \lambda [/mm] * [mm] L(u_w) [/mm] = [mm] L(\lambda u_w) \in [/mm] L(U), zudem gilt [mm] \lambda u_w \in [/mm] U, da U als UVR bzgl. skalarer Mult. abgeschlossen ist.
Also gut, L(U) ist ein Untervektorraum, muss ich noch zeigen, dass L(U) [mm] \subseteq [/mm] W gilt? Oder kann ich einfach schreiben, dass das klar ist weil das ja quasi das Bild ist?
(b) fast analog zu (a), oder?
(c) Seien { [mm] u_1,...u_n [/mm] }, { [mm] u_{1}',...,u_{m}' [/mm] } beliebige Basen von U bzw. U', [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K und w [mm] \in [/mm] L(U+U') beliebig, dann gilt
[mm] w=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n [/mm] + [mm] \mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}') [/mm] = [mm] L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n) [/mm] + [mm] L(\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}')
[/mm]
Da w beliebig war folgt L(U+U') = L(U)+L(U')
Oder sollte ich das besser machen, indem ich beide Inklusionen zeige? Dazu bräuchte ich dann allerdings eine kleine Hilfestellung.
(d) Sei [mm] w=L(\lambda_1 v_1+...+\lamda_k v_k) [/mm] beliebig, dann gilt
[mm] w=L(\lambda_1 v_1+...+\lamda_k v_k) [/mm] = [mm] \lambda_1 L(v_1)+...+\lambda_k L(v_k) [/mm]
Da w beliebig war, gilt [mm] L(sp(v_1,...,v_k)) [/mm] = [mm] sp(L(v_1),...,L(v_k))
[/mm]
Also hierbei bin ich mir absolut unsicher, ich hab mehrere Sachen ausprobiert, aber das hier scheint mir der einzige geeignete Ansatz.
Vielen Dank für euere Hilfe schonmal im Voraus.
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Sind das richtige Ansätze ..also ich versteh nur Bahnhof...wäre nett wen jmd. nochmal ne idee hätte.
Charlie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Sa 05.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hi,
a)
Das ist die richtige Vorgehensweise.
Dass [mm] {L(U)\subseteq W} [/mm] gilt, da [mm] {U\subseteq V} [/mm] und [mm] {L(V)\subseteq W}, [/mm] solltest du aber schon noch erwähnen.
b)
Ja, fast das selbe in grün.
Nur aufpassen, da nicht jedes [mm] {w\in W} [/mm] auch in L(V) liegen muss (L ist nicht unbedingt surjektiv).
c)
Die Umkehrung gehört dazu da sonst nur [mm] \subseteq [/mm] gezeigt ist.
D.h. für beliebige [mm] w_1 \in [/mm] L(U) und [mm] w_2 \in [/mm] L(U') gilt wieder die Gleichung
[mm] {w=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n+\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}')=L(\lambda_1 u_1+...+\lambda_n u_n)+L(\mu_1 u_{1}'+...+\mu_m u_{m}')\in L(U+U')}
[/mm]
d)
Der Ansatz ist wieder richtig. Nur, wie schon bei c), fehlt die Rückrichtung, da sonst nur [mm] \subseteq [/mm] gilt.
Ciao.
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