Lin. Unab. Verständnisproblem < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:21 Di 04.12.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren a, b, c [mm] \in [/mm] V Können die drei Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear unhabhängig sein?
[mm] v_1=2*a-3*b+c
[/mm]
[mm] v_2=a+2b-3c
[/mm]
[mm] v_3=-3*a+b+2c [/mm] |
Hallo,
ich versteh die Lösun dieser aufgabe nicht.
die Lösung ist einfach:
[mm] v_1+v_2+v_3=0*a+0*b+0*c [/mm] deswegen sind [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] immer linear abhängig.
was wäre aber wenn [mm] v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c [/mm] z. B. das Ergebnis wäre, sind sie dann linear unabhänig? Das sagt ja nur aus die die Summe der drei durch eine Linearkombination aus a, b,c, dargestellt werden, wie kann man aber folgern dass die Vektoren linear unabhänig sind?
Vielen Dank für eine Erläuterung.
gruß mike
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> Gegeben sind die Vektoren a, b, c [mm]\in[/mm] V Können die drei
> Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear unabhängig sein?
>
> [mm]v_1=2*a-3*b+c[/mm]
> [mm]v_2=a+2b-3c[/mm]
> [mm]v_3=-3*a+b+2c[/mm]
> Hallo,
>
> ich versteh die Lösung dieser Aufgabe nicht.
>
> die Lösung ist einfach:
>
> [mm]v_1+v_2+v_3=0*a+0*b+0*c[/mm] deswegen sind [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] immer
> linear abhängig.
>
> was wäre aber wenn [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] z. B. das
> Ergebnis wäre,
das Ergebnis ist im vorliegenden Fall aber eben der Nullvektor !
> sind sie dann linear unabhänig? Das sagt
> ja nur aus die die Summe der drei durch eine
> Linearkombination aus a, b,c, dargestellt werden, wie kann
> man aber folgern dass die Vektoren linear unabhänig sind?
aus [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] könnte man natürlich
nicht schließen, dass a, b und c linear abhängig sind,
aber auch nicht, dass sie linear unabhängig sind !
Analog dazu:
Wenn du in diesem Jahr noch einen Millionengewinn im
Lotto machst, könnte man daraus am Ende des Jahres
nicht schließen, dass du intelligent bist - aber auch nicht,
dass du nicht intelligent bist !
LG, Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 04.12.2012 | | Autor: | MrPan |
Halllo,> > Gegeben sind die Vektoren a, b, c [mm]\in[/mm] V Können die drei
> > Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear unabhängig sein?
> >
> > [mm]v_1=2*a-3*b+c[/mm]
> > [mm]v_2=a+2b-3c[/mm]
> > [mm]v_3=-3*a+b+2c[/mm]
>
> > Hallo,
> >
> > ich versteh die Lösung dieser Aufgabe nicht.
> >
> > die Lösung ist einfach:
> >
> > [mm]v_1+v_2+v_3=0*a+0*b+0*c[/mm] deswegen sind [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] immer
> > linear abhängig.
> >
> > was wäre aber wenn [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] z. B. das
> > Ergebnis wäre,
>
> das Ergebnis ist im vorliegenden Fall aber eben der
> Nullvektor !
heißt dieses Lösungsverfahren macht nur sinn wenn ich weiß das der nullvektor rauskommt?
>
> > sind sie dann linear unabhänig? Das sagt
> > ja nur aus die die Summe der drei durch eine
> > Linearkombination aus a, b,c, dargestellt werden, wie kann
> > man aber folgern dass die Vektoren linear unabhänig sind?
>
> aus [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] könnte man natürlich
> nicht schließen, dass a, b und c linear abhängig sind,
> aber auch nicht, dass sie linear unabhängig sind !
a,b,c sind ja egal es geht um v1, v2, v3
Wie würde man das allgemein lösen?
Meine Idee:
[mm] k*v_1+l*v_2+m*v_3=0 [/mm] // k=m=l=0 gilt zu überprüfen
[mm] v_1,...v_3 [/mm] einsetzen ausklammern nach a,b,c gruppieren,sodass
z. b. (k+l)*a+(k+2l+m)*b+(k+l-m)*c=0
Aber wie kann ich hier bestimmen ob [mm] v_1,...,v_3 [/mm] für bestimmte a,b,c linear unabhängig sind, mal die triviale Lösung a=b=c=0 ausgenommen
Danke für deine/eure Hilfe!
gruß mike
>
>
> Analog dazu:
>
> Wenn du in diesem Jahr noch einen Millionengewinn im
> Lotto machst, könnte man daraus am Ende des Jahres
> nicht schließen, dass du intelligent bist - aber auch
> nicht,
> dass du nicht intelligent bist !
>
> LG, Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 04.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Halllo,> > Gegeben sind die Vektoren a, b, c [mm]\in[/mm] V Können
> die drei
> > > Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear unabhängig sein?
> > >
> > > [mm]v_1=2*a-3*b+c[/mm]
> > > [mm]v_2=a+2b-3c[/mm]
> > > [mm]v_3=-3*a+b+2c[/mm]
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich versteh die Lösung dieser Aufgabe nicht.
> > >
> > > die Lösung ist einfach:
> > >
> > > [mm]v_1+v_2+v_3=0*a+0*b+0*c[/mm] deswegen sind [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] immer
> > > linear abhängig.
> > >
> > > was wäre aber wenn [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] z. B. das
> > > Ergebnis wäre,
> >
> > das Ergebnis ist im vorliegenden Fall aber eben der
> > Nullvektor !
>
> heißt dieses Lösungsverfahren macht nur sinn wenn ich
> weiß das der nullvektor rauskommt?
Ich schätze, dass der Aufgabensteller im Sinn hatte, dass Du drauf kommst, dass [mm] v_1+v_2+v_3=0 [/mm] ist.
> >
> > > sind sie dann linear unabhänig? Das sagt
> > > ja nur aus die die Summe der drei durch eine
> > > Linearkombination aus a, b,c, dargestellt werden, wie kann
> > > man aber folgern dass die Vektoren linear unabhänig sind?
> >
> > aus [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] könnte man natürlich
> > nicht schließen, dass a, b und c linear abhängig
> sind,
> > aber auch nicht, dass sie linear unabhängig sind !
>
> a,b,c sind ja egal es geht um v1, v2, v3
>
> Wie würde man das allgemein lösen?
>
> Meine Idee:
>
> [mm]k*v_1+l*v_2+m*v_3=0[/mm] // k=m=l=0 gilt zu überprüfen
>
> [mm]v_1,...v_3[/mm] einsetzen ausklammern nach a,b,c
> gruppieren,sodass
>
> z. b. (k+l)*a+(k+2l+m)*b+(k+l-m)*c=0
Das nützt Dir in diesem Fall nichts, denn über die Vektoren a,b,c ist nichts bekannt.
FRED
>
> Aber wie kann ich hier bestimmen ob [mm]v_1,...,v_3[/mm] für
> bestimmte a,b,c linear unabhängig sind, mal die triviale
> Lösung a=b=c=0 ausgenommen
>
> Danke für deine/eure Hilfe!
>
> gruß mike
> >
> >
> > Analog dazu:
> >
> > Wenn du in diesem Jahr noch einen Millionengewinn im
> > Lotto machst, könnte man daraus am Ende des Jahres
> > nicht schließen, dass du intelligent bist - aber auch
> > nicht,
> > dass du nicht intelligent bist !
> >
> > LG, Al-Chw.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Di 04.12.2012 | | Autor: | MrPan |
>
> Das nützt Dir in diesem Fall nichts, denn über die
> Vektoren a,b,c ist nichts bekannt.
>
> FRED
Danke für deine Antwort,
(k+l)*a+(k+2l+m)*b+(k+l-m)*c=0
meine idee war
k+l=0
k+2l+m=0
k+l-m=0
falls k=l=m=0 einzige Lösung sind sie linear unabhängig, und falls z.b k=l/2, m=l/4 ist sind sie linear abhängig, das geht nicht?
mehr hab ich doch auch nicht zur verfügung außer das ich weiß a,b,c sind beliebige Vektoren [mm] v_1,...,v_2 [/mm] sind kann man aus a,b,c zusammensetzten
und es muss gelten $ [mm] k\cdot{}v_1+l\cdot{}v_2+m\cdot{}v_3=0 [/mm] $ => k=m=l=0
Anonsten würd ich dich um einen richtigen Ansatz bitten.
gruß mike
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo mike,
>
> >
> > Das nützt Dir in diesem Fall nichts, denn über die
> > Vektoren a,b,c ist nichts bekannt.
> >
> > FRED
>
> Danke für deine Antwort,
>
> (k+l)*a+(k+2l+m)*b+(k+l-m)*c=0
> meine idee war
>
> k+l=0
> k+2l+m=0
> k+l-m=0
das kannst Du so nur folgern, wenn Du annimmst/voraussetzt, dass
[mm] $a,b,c\,$ [/mm] linear unabhängig sind. (Denn das heißt dann doch: Aus
[mm] $r*a+s*b+t*c=0\,,$ [/mm] mit Skalaren [mm] $r,s,t\,,$ [/mm] folgt schon [mm] $r=s=t=0\,.$ [/mm] Oben
wäre [mm] $r=k+l\,,$ $s=k+2l+m\,$ [/mm] und [mm] $t=k+l-m\,.$)
[/mm]
Wie Fred schon sagte: Solange Du NICHTS über [mm] $a,b,c\,$ [/mm] weißt (d.h. Du
weißt nicht, ob sie linear abhg. oder linear unabhängig sind), kannst Du
nun höchstens weiter rumrechnen, indem Du zwei Fälle abhandelst:
1. Fall: Angenommen, [mm] $a,b,c\,$ [/mm] seien linear unabhängig. ... (Dann geht's
weiter wie bei Dir oben.)
2. Fall: Angenommen, [mm] $a,b,c\,$ [/mm] seien linear abhängig. ...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 05:44 So 09.12.2012 | | Autor: | MrPan |
> 1. Fall: Angenommen, [mm]a,b,c\,[/mm] seien linear unabhängig. ...
> (Dann geht's
> weiter wie bei Dir oben.)
Angenommen wir hätten einen R-Vektorraum, das heißt dann es muss mindestens 3 linear unahängige Vekoren geben, und deswegen die Dimension > 2 sein? Aber im R-Vektorraum sowie im C Vekorraum ist die Dimension ja 1 bzw. 2.
>
> 2. Fall: Angenommen, [mm]a,b,c\,[/mm] seien linear abhängig. ...
>
dann müsste das Gleichungssystem
k+l=r
k+2l+m=s
k+l-m=t
lauten, und auch nur k=l=m=0 als Lösung haben für alle r,s,t [mm] \in [/mm] Körper damit [mm] v_1,...v_4 [/mm] LU existieren.
Also kommt es auf den Vekorraum an ob es [mm] v_1,...v_4 [/mm] LU gibt, oder täusch ich mich?
Vielen Dank für deine Hilfe!
gruß mike
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Hallo,
> > 1. Fall: Angenommen, [mm]a,b,c\,[/mm] seien linear unabhängig. ...
> > (Dann geht's
> > weiter wie bei Dir oben.)
>
> Angenommen wir hätten einen R-Vektorraum, das heißt dann
> es muss mindestens 3 linear unahängige Vekoren geben,
Ja.
> und
> deswegen die Dimension > 2 sein?
Ja.
> Aber im R-Vektorraum sowie
> im C Vekorraum ist die Dimension ja 1 bzw. 2.
???
Mit [mm] "\IR-Vektorraum [/mm] ist nicht der Vektorraum [mm] "\IR [/mm] über [mm] \IR" [/mm] gemeint, sondern ein Vektorraum, bei dem die Skalare aus dem Körper [mm] \IR [/mm] kommen.
Ein Beispiel für einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] wäre der 17-dimensionale Raum [mm] \IR^{17}.
[/mm]
Für [mm] \IC [/mm] entsprechend.
> >
> > 2. Fall: Angenommen, [mm]a,b,c\,[/mm] seien linear abhängig. ...
> >
> dann müsste das Gleichungssystem
>
> k+l=r
> k+2l+m=s
> k+l-m=t
>
> lauten, und auch nur k=l=m=0 als Lösung haben für alle
> r,s,t [mm]\in[/mm] Körper damit [mm]v_1,...v_4[/mm] LU existieren.
???
Ich kapiere u.a. gar nicht, von welchen [mm] $v_1,...v_4$ [/mm] Du redest...
Nochmal: bei Deiner Aufgabe gilt, egal wie man a,b,c wählt, stets [mm] v_1+v_2+v_3=0.
[/mm]
Es gibt also eine nichttriviale Linearkombination der [mm] v_i, [/mm] welche 0 ergibt. Somit sind die [mm] v_i [/mm] linear abhängig.
Und damit ist man fertig.
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Du möchtest lieber ein bißchen rumrechnen, richtig?
Bzw. wissen, was man macht, wenn man's nicht gleich sieht.
Wäre vorausgesetzt, daß a,b,c linear unabhängig sind, könntest Du so vorgehen:
sei [mm] kv_1+lv_2+mv_3=0
[/mm]
<==> (2k+l-3m)a+(-3k+2l+m)b+(k-3l+2m)c=0.
Wegen der linearen Unabhängigkeit von a,b,c folgt
2k+l-3m=0
-3k+2l+m=0
k-3l+2m=0
<==>
k=m
l=m.
Dh. sofern man es so organisiert, daß für beliebiges m eben k=m und l=m ist, hat das Gleichungssystem [mm] kv_1+lv_2+mv_3=0 [/mm] eine Lösung.
Eine Lösung ist etwa (mit m=13)
[mm] 13v_1+13v_2+13v_3=0.
[/mm]
Also sind die [mm] v_i [/mm] nicht linear unabhängig, sofern a,b,c linear unabhängig sind.
Bleibt zu überlegen, was ist, wenn a,b,c linear abhängig ist.
Nun, dann sind die [mm] v_i [/mm] erst recht nicht unabhängig, und in der Tat kannst Du vorrechnen, daß [mm] 13v_1+13v_2+13v_3=0.
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 So 09.12.2012 | | Autor: | MrPan |
Hi angela,
ich habe mir das fast schon gedacht, aber dachte die Aufgabe hat nen haken, vielen Dank für die Erläuteung.
Vielen Dank für eure Hilfe! Anscheinend hab ich die Aufgabe schwerer gemacht als sie eigentlich war.
gruß mike
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> Gegeben sind die Vektoren a, b, c [mm]\in[/mm] V Können die drei
> Vektoren [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear unhabhängig sein?
>
> [mm]v_1=2*a-3*b+c[/mm]
> [mm]v_2=a+2b-3c[/mm]
> [mm]v_3=-3*a+b+2c[/mm]
Hallo,
die Frage ist, ob man den Nullvektor aus [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] nur mit der trivialen Linearkombination darstellen kann, oder ob es auch eine andere Möglichkeit gibt.
Per Draufgucken sieht man hier, daß die drei Vektoren addiert den Nullvektor ergeben:
[mm] 1*v_1+1*v_2+1*v_3= [/mm] $(2*a-3*b+c)+(a+2b-3c)+(-3*a+b+2c)$=(2+1-3)a+(-3+2+1)b+(1-3+2)c=0.
Also sind die [mm] v_i [/mm] linear abhängig.
Dabei ist es in diesem Falle völlig wurscht, ob a,b,c abhängig oder unabhängig sind.
LG Angela
> Hallo,
>
> ich versteh die Lösun dieser aufgabe nicht.
>
> die Lösung ist einfach:
>
> [mm]v_1+v_2+v_3=0*a+0*b+0*c[/mm] deswegen sind [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] immer
> linear abhängig.
>
> was wäre aber wenn [mm]v_1+v_2+v_3=2*a+2*b+c[/mm] z. B. das
> Ergebnis wäre, sind sie dann linear unabhänig? Das sagt
> ja nur aus die die Summe der drei durch eine
> Linearkombination aus a, b,c, dargestellt werden, wie kann
> man aber folgern dass die Vektoren linear unabhänig sind?
>
> Vielen Dank für eine Erläuterung.
> gruß mike
>
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