Lin. unabh. Äquivalenzklassen? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 So 27.01.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Im [mm] \IR^4 [/mm] seien zwei Vektoren x und y, sowie in Abhängigkeit von a [mm] \in \IR [/mm] ein Untervektorraum [mm] U_{a} [/mm] gegeben durch:
[mm] U_{a} [/mm] = [ [mm] \begin{pmatrix}1 \\ a \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1-a \\ 2-a^2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -a \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] ], x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, [/mm] y = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
[/mm]
Bestimmen sie alle a [mm] \in \IR, [/mm] für die die Äquivalenzklassen x + [mm] U_{a}, [/mm] y + [mm] U_{a} \in \IR^4/U_{a}
[/mm]
(a) gleich
(b) linear unabhängig
sind. |
Hallo! Ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
Teil a) hab ich schon gelöst (Ist x + [mm] U_{a} [/mm] = y + [mm] U_{a} [/mm] so muss x-y in [mm] U_{a} [/mm] liegen, der Rest ist dann ja nur Durchrechnen eines LGS), aber bei Teil (b) weis ich nicht so ganz, wie ich es angehen soll.
Was lineare Unabhängigkeit bedeutet, ist mir klar. Es gilt woll zu zeigen, dass:
b * (x + [mm] U_{a} [/mm] ) + c * (y + [mm] U_{a} [/mm] ) = 0
nur für b = c = 0 lösbar ist.
Aber jetzt weis ich nicht so ganz, wie ich hier mit den Äuqivalenzklassen arbeiten soll. Ich kann in meinem Skript und auch in den LA Büchern die ich grad zuhause habe, nicht darüber finden.
Ich hatte bisher folgende Idee:
b * (x + [mm] U_{a} [/mm] ) + c * (y + [mm] U_{a} [/mm] ) = 0 ist nur dann mit b = c = 0 lösbar, wenn der Nullvektor nicht in x + [mm] U_{a} [/mm] und y + [mm] U_{a} [/mm] liegt.
Dann müsste ich ja blos schauen, für welche a der Nullvektor jeweils in beiden Äquivalenzklassen liegt und dann kann ich einfach sagen "Die Äquivalenzklassen sind für alle a [mm] \in \IR \setminus {a_1, ... a_n} [/mm] (mit [mm] a_1, [/mm] ..., [mm] a_n [/mm] die a für die in beiden Äquivalenzklassen der Nullvektor liegt) linear unabhängig".
Aber ich einfach nicht, ob dass das richtige Verfahren ist. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen könntet und mir das richtige Verfahren angeben könntet.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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> Im [mm]\IR^4[/mm] seien zwei Vektoren x und y, sowie in Abhängigkeit
> von a [mm]\in \IR[/mm] ein Untervektorraum [mm]U_{a}[/mm] gegeben durch:
>
> [mm]U_{a}[/mm] = [ [mm]\begin{pmatrix}1 \\ a \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1-a \\ 2-a^2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -a \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> ], x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix},[/mm] y
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}[/mm]
>
> Bestimmen sie alle a [mm]\in \IR,[/mm] für die die Äquivalenzklassen
> x + [mm]U_{a},[/mm] y + [mm]U_{a} \in \IR^4/U_{a}[/mm]
>
> (a) gleich
>
> (b) linear unabhängig
>
> sind.
> Hallo! Ich bräuchte etwas Hilfe bei dieser Aufgabe.
> Teil a) hab ich schon gelöst (Ist x + [mm]U_{a}[/mm] = y + [mm]U_{a}[/mm]
> so muss x-y in [mm]U_{a}[/mm] liegen, der Rest ist dann ja nur
> Durchrechnen eines LGS), aber bei Teil (b) weis ich nicht
> so ganz, wie ich es angehen soll.
>
> Was lineare Unabhängigkeit bedeutet, ist mir klar. Es gilt
> woll zu zeigen, dass:
>
> b * (x + [mm]U_{a}[/mm] ) + c * (y + [mm]U_{a}[/mm] ) = 0
>
> nur für b = c = 0 lösbar ist.
Hallo,
ja. Nun muß man sich klar machen, was 0 hier bedeutet: es ist ja die Null in [mm] \IR^4/U_{a}, [/mm] also [mm] U_a.
[/mm]
Du mußt also dies anschauen:
b * (x + [mm]U_{a}[/mm] ) + c * (y + [mm]U_{a}[/mm] ) = [mm] U_a
[/mm]
<==> (bx+cy)+ [mm] U_a=U_a
[/mm]
<==> bx+cy [mm] \in U_a,
[/mm]
und herausfinden, ob (bzw. für welche a) dies nur für b=c=0 der Fall ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Di 29.01.2008 | | Autor: | MrFair |
Hallo Angela,
danke für deine Antwort. Das hört sich sehr logisch an. So arg weit vorbei, wie ich dachte, lag ich also wohl doch nicht. Ich hatte es nämlich so probiert zu rechnen, wie ich oben erklärt habe und bin dann auf kein sinnvolles Ergebnis gekommen. Dummerweise ist das Übungsblatt jetzt aber schon abgeben ;)
Ich werds aber zur Übung trotzdem mal durchrechnen.
Also vielen Dank für deine erneute Hilfe!
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