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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:05 Mo 24.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Aufgabe 4: Es seien die folgenden Vektoren im R5 gegeben:
[mm] v_1= \vektor{1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\3} v_2= \vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\0} v_3= \vektor{-5 \\ -4 \\ 2 \\ -1 \\1} v_4=\vektor{-5 \\ -6 \\ 6 \\ -1 \\6}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Famile (v1, v2, v3) linear unabhängig ist. Ergänzen Sie die Familie (v1, v2, v3)
durch Vektoren der Standardbasis (e1, e2, e3, e4, e5) zu einer Basis des R5. Finden Sie eine Darstellung
des Vektors v4 in dieser Basis. |
Man muss das ja irgendwie in einer Matrix darstellen und eine Diagonalform erhalten, wenn es linear abhängig sein soll.
Aber wie zeige ich das bei der Familie [mm] v_1, v_2, v_3?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Thomas,
> Aufgabe 4: Es seien die folgenden Vektoren im R5 gegeben:
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> [mm]v_1= \vektor{1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\3} v_2= \vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\0} v_3= \vektor{-5 \\ -4 \\ 2 \\ -1 \\1} v_4=\vektor{-5 \\ -6 \\ 6 \\ -1 \\6}[/mm]
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> Zeigen Sie, dass die Famile (v1, v2, v3) linear unabhängig
> ist. Ergänzen Sie die Familie (v1, v2, v3)
> durch Vektoren der Standardbasis (e1, e2, e3, e4, e5) zu
> einer Basis des R5. Finden Sie eine Darstellung
> des Vektors v4 in dieser Basis.
> Man muss das ja irgendwie in einer Matrix darstellen und
> eine Diagonalform erhalten, wenn es linear abhängig sein
> soll.
> Aber wie zeige ich das bei der Familie [mm]v_1, v_2, v_3?[/mm]
Stopfe [mm] $v_1,..,v_3$ [/mm] als Spalten in eine Matrix und bringe sie in Zeilenstufenform
Also [mm] $\pmat{1&2&-5&\mid&0\\-1&1&-4&\mid&0\\2&0&2&\mid&0\\0&1&-1&\mid&0\\3&0&1&\mid&0}$
[/mm]
Das entspricht dem LGS [mm] $\lambda\cdot{}v_1+\mu\cdot{}v_2+\nu\cdot{}v_3=0$
[/mm]
Bringe das mal in Zeilenstufenform, wenn du nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$ [/mm] herausbekommst, dann sind [mm] $v_1,..v_3$ [/mm] linear unabh. (was zu zeigen ist)
Rechne es zu Fuß und/oder erinnere dich daran, wie der Zusammenhang zwischen Lösbarkeit (eines homogenen LGS) und Rang der zugehörigen Matrix ist
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Ich hatte in einer Zeile 0 raus, die in eine andere eingesetzt und dort auch 0 raus und dann natürlich auch ganz oben. Ist es da egal, ob die Zeilen nicht alle hinhauen? Weil es sind ja zu viele Zeilen, als dass in jeder Zeile eine Zahl weniger wäre.
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> Ich hatte in einer Zeile 0 raus, die in eine andere
> eingesetzt und dort auch 0 raus und dann natürlich auch
> ganz oben. Ist es da egal, ob die Zeilen nicht alle
> hinhauen? Weil es sind ja zu viele Zeilen, als dass in
> jeder Zeile eine Zahl weniger wäre.
Hallo,
tut mir leid, aus dieser Erzählung werde ich nicht recht schlau.
Was meinst Du mit "hinhauenden" Zeilen?
Wenn Du vorrechnest, wird man am besten entscheiden können, ob alles richtig ist.
Am einfachsten ist's, wenn Du die Matrix auf Zeilenstufenform bringst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Ich bin am Ende auf
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Auf diese Form habe ich es gebracht. Ich meinte mit hinhauen nur, dass die Zeilenstufenform nicht ganz reinpasst. Wenn ich dort die Koeffizienten ausrechne, dann komme ich ja praktisch überall auf 0. Ist das so richtig?
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Hallo Thomas,
> Ich bin am Ende auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & 0 \\ 0 & 2 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Auf diese Form habe ich es gebracht. Ich meinte mit
> hinhauen nur, dass die Zeilenstufenform nicht ganz
> reinpasst. Wenn ich dort die Koeffizienten ausrechne, dann
> komme ich ja praktisch überall auf 0. Ist das so richtig?
Du kannst die dritte Zeile noch wegballern, wenn du das -2fache der 2.Zeile zum 3-fachen der 3.Zeile addierst, dann hast du eine reine Stufenform, die nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=\nu=0$ [/mm] ermöglicht.
Damit sind [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] linear unabh.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 26.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Aber wie mache ich das mit der Standardbasis?
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> Aber wie mache ich das mit der Standardbasis?
Hallo,
wenn man hier irgendwo die endgültige Zeilenstufenform sehen würde, könnte man das besser zeigen.
Mal ein Beispiel:
$ [mm] \pmat{ \red{1} & 2 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & \red{7}& 1 \\ 0 &0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
Du nimmst die Spalten ohne führende Elemente heraus -->$ [mm] \pmat{ 1 & & 5 & \\ 0 & & 7& \\ 0 & & 0 & \\ 0 & & 0 & \\ 0 & & 0 & } [/mm] $
und überlegst Dir, welche Einheitsvektoren Du einschieben mußt, um eine 5x5-Matrix mit vollem Rang zu haben.
In diesem Beispiel wären es drei Stück. Welche?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Do 27.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Ich fühl mich schrecklich dumm, was sind denn nun wieder führende Elemente?
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> Ich fühl mich schrecklich dumm, was sind denn nun wieder
> führende Elemente?
Hallo,
ich habe sie im Post von 7.04 Uhr jetzt farbig markiert. Vielleicht sagt Ihr Pivotelemente dazu.
Gruß v. Angela
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