Linear unabhängige Teilmengen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] , [mm] v_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, v_3 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, v_4 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}, v_5 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Geben Sie alle linear unabhängigen Teilmengen von [mm] {v_1, v_2, v_3, v_4, v_5} [/mm] an. Natürlich mit Beweis! |
Heißt das, dass ich alle Kombinationen von Vektoren angeben muss, die linear unabhängig sind? Also zum Beispiel [mm] v_3, v_4 [/mm] und [mm] v_5? [/mm] Oder geht das nicht, weil ich dann nur für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] eine Lösung (nämlich 0) hätte?
Und wenn das so richtig ist, wie sieht dann der Beweis aus? Muss ich die Gleichungssysteme lösen im obigen Beispiel für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich 0?
Vielen Dank schon einmal im Voraus!
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 05.12.2010 | | Autor: | wonda |
Guck dir an wie du [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{5} [/mm] kombinieren kannst ohne das die zusammengepackten Vektoren linear abhängig(l.a.) werden
als Bsp.:
Eine Teilmenge wäre [mm] T_{1}:=\{v_{1}, v_{2}\}
[/mm]
jetzt musst du zeigen ob [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] linear unabhängig(l.u.) sind oder eben nicht
ich denke ihr werdet das mit einem Gleichungssystem lösen(hörte sich bei dir so an)
also guckst du für welches [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gilt:
[mm] \alpha\*v_{1}+\beta\*v_{2}=0 [/mm]
gilt dies nur wenn [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] dann sind die Vektoren l.u.
[mm] v_{5} [/mm] ist ein spezieller Vektor, der Nullvektor
Hilfe: [mm] \alpha\*\vektor{1 \\ -1\\0\\2}+\beta\*\vektor{0 \\ 0\\0\\0}=0
[/mm]
gibt es Lösungen bei denen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta \not=0 [/mm] sind
wenn ja folgt daraus doch aber das die Vektoren l.a. sind
hoffe das hilft dir weiter
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