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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:00 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marle |
Hallo,
Gegeben seien folgende Teilmengen des [mm] \IR [/mm] Vektorraums [mm] \IR^{4}:
[/mm]
[mm]M_{1} = \{(-6, 24, 36,-42)^{T} , (-7, 28, 42,-49)^{T} , (9,-36,-54, 63)^{T} \}[/mm]
[mm]M_{2} = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T} \in \IR^{4} : \summe_{i=1}^{4} x_{k}^{2} = 3\}[/mm]
Bestimmen Sie [mm]span M_{k} [/mm] für [mm]k \in \{1, 2\}.[/mm]
Kann ich davon ausgehen, dass das ^{T} (die Transposition)
nur besagt, dass die Vektoren horizontal geschrieben werden?
Die Vektoren in [mm] M_{1} [/mm] sind doch linear abhängig. Daswegen sind sie keine Basis. Doch weiter komme ich nicht.
Währe toll wenn mir jemand helfen könnte!
danke die marle
Die Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Do 20.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Marle
ich weiss jetzt gar nicht, was diese Frage mit einer Linearen Hülle zu tun hat. Ich denke, du solltest den Betreff jeweils schon etwas aussagekräftiger gestalten. Dein Betreff hat mich zum Beispiel lange davon abgehalten, deine Frage überhaupt zu lesen! Jetzt habe ich mich doch getraut, und siehe da: da ist ja nirgends etwas von einer Linearen Hülle zu finden. Somit sollte sogar ich in der Lage sein, einige Tipps zu geben! 
> Hallo,
>
> Gegeben seien folgende Teilmengen des [mm]\IR[/mm] Vektorraums
> [mm]\IR^{4}:
[/mm]
> [mm]M_{1} = \{(-6, 24, 36,-42)^{T} , (-7, 28, 42,-49)^{T} , (9,-36,-54, 63)^{T} \}[/mm]
>
> [mm]M_{2} = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})^{T} \in \IR^{4} : \summe_{i=1}^{4} x_{k}^{2} = 3\}[/mm]
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> Bestimmen Sie [mm]span M_{k}[/mm] für [mm]k \in \{1, 2\}.[/mm]
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> Kann ich davon ausgehen, dass das ^{T} (die Transposition)
>
> nur besagt, dass die Vektoren horizontal geschrieben
> werden?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Man schreibt sie als Tupel, denkt sie sich aber als Spaltenvektor. Das ist aber, meiner Meinung nach, bedeutungslos. (Man denkt halt heutzutage bei einer horizontalen Schreibweise eher an Matrizen, bei einer vertikalen Schreibweise hingegen an Vektoren)
> Die Vektoren in [mm]M_{1}[/mm] sind doch linear abhängig. Daswegen
> sind sie keine Basis. Doch weiter komme ich nicht.
>
Ja, das ist schon mal eine gute Erkenntnis. Jetzt weisst du aber: Wenn eine linear abhängige Menge einen Unterraum aufspannt, dann kannst du aus dieser Menge einen beliebigen Vektor entfernen, und die übriggebliebenen Vektoren spannen immer noch den gleichen Unterraum auf.
Nimm also aus der Menge [mm] $M_1$ [/mm] einfach zum Beispiel den 3. Vektor weg. Sollten wider Erwarten die beiden verbleibenden Vektoren auch linear abhängig sein, dann nimmst du halt nochmals einen weg! (und so weiter)
Der gesuchte Unterraum besteht dann aus allen Linearkombinationen der am Schluss noch übriggebliebenen Vektoren, die ja eine Basis des gesuchten Unterraums bilden.
(Ich würde die Aufgabe jetzt mal auf diese Art lösen, um den Mechanismus zu wiederholen. Einfacher würde es allerdings gehen, wenn du zu Beginn die gegebenen Vektoren "kürzt" (den Ersten durch -6, den Zweiten durch -7 und den Dritten durch 9 dividieren. Dann siehst du sofort, dass eigentlich nur ein Vektor linear abhängig ist) )
Wie sieht es mit [mm] $M_2$ [/mm] aus? Konntest du diese Teilaufgabe lösen?
> Währe toll wenn mir jemand helfen könnte!
>
Was lange währt wird endlich toll! Das wäre doch ein cooler Spruch, oder?
> danke die marle
>
Bitte der Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 Do 20.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi noch ein paar Anmerkungen, weil ein paar Sachen nicht ganz sauber sind:
> ich weiss jetzt gar nicht, was diese Frage mit einer
> Linearen Hülle zu tun hat.
[mm] span(v_i) [/mm] ist doch die lineare Hülle aller darin enthalten Vektoren [mm] v_i, [/mm] weil es alle möglichen Linearkombinationen sind.
> Jetzt
> weisst du aber: Wenn eine linear abhängige Menge einen
> Unterraum aufspannt, dann kannst du aus dieser Menge einen
> beliebigen Vektor entfernen, und die übriggebliebenen
> Vektoren spannen immer noch den gleichen Unterraum auf.
Vorsicht: man darf nicht einen beliebigen Vektor entfernen !
eine Familie ist auch nicht dann linear abhängig, wenn JEDER Vektor sich als LinKombi der anderen darstellen lässt, sondern : es muss mindestens einen geben - und nur solche darf man entfernen !
hier funzt es trotzdem, denn wie der weitere Tipp nach dem kürzen zeigt sind es die selben Vektoren - nur skaliert...
Noch ein Tipp zu M2 : man überlege sich, welche Vektoren darin enthalten sind - Wie ist die Länge eines Vektors definiert ?
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marle |
Danke für eure Hilfe, ich mach mich mal ans lösen ...
die Marle
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
