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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $ T : M_{2 \times 2}(\IR) \to P_4(\IR) $ definiert mit
$ T\pmat{a & b \\ c & d} = a+bx^2+(c-a)x^3+(d-b)x^4 $
i) Zeige, dass $T$ eine lineaire Abbildung ist.
ii) Zeige, dass $T$ nicht surjektiv ist, ohne ein Element von $Im(T)$ zu berechnen.
iii) Berechne $Ker(T)$. Was ist $dim(Ker(T))$?
iv) Gib eine Basis für $Im(T)$. |
Hallo :)
Teilaufgabe i)
Ich habe erst zwei Matrizen $ A = \pmat{a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1}, B = \pmat{a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2} \in M_{2 \times 2}(\IR)$ genommen. Wenn ich diese addiere und auf die Summe die Transformation anwende, erhalte ich:
$ T \pmat(a_1+a_2 & b_1+b_2 \\ c_1+c_2 & d_1+d_2} $
$ \quad = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)x^2+((c_1+c_2)-(a_1+a_2))x^3+((d_1+d_2)-(b_1+b_2))x^4 $
$ \quad = (a_1+b_1x^2+(c_1-a_1)x^3+(d_1-b_1)x^4)+(a_2+b_2x^2+(c_2-a_2)x^3+(d_2+b_2)x^4) $
$ \quad =T \pmat{a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1} + T{a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2} $
Wenn ich jetzt eine Zahl $ z \in \IR$ und eine Matrix $A = \pmat{a & b \\ c & d} \in M_{2 \times 2}(\IR)$ nehme und auf deren Produkt die Transformation anwende, zeige ich, dass
$ T\pmat{za & zb \\ zc & zd} = za+zbx^2+(zc-za)x^3+(zd-zb)x^4=z(a+bx^2+(c-a)x^3+(d-b)x^4)=z * T \pmat{a & b \\ c & d} $
Die Abbildung ist also linear.
Teilaufgabe ii)
Ich verstehe nicht genau, wie man Surjektivität beweisen muss, ehrlich gesagt. Ich dachte mir, dass ich mir ein $y \in P_4(\IR)$ nehme, wofür gelten muss:
$ T \pmat{a & b \\ c & d} = y = a+bx^2+(c-a)x^3+(d-b)x^4 $
Ich muss jetzt zeigen, dass es für $y$ mindestens eine Matrix gibt, die auf $y$ abgebildet wird, oder? Nur wie macht man das?
Teilaufgabe iii)
Für den Kern gilt hier, dass
$ Ker(T) = \{\pmat{a & b \\ c & d} | a+bx^2+(c-a)x^3+(d-b)x^4=0\{} $, also
$ Ker(T) = \{\mat{a & b \\ c & d} | a = 0, b=0, (c-a)=0, (d-b)=0\}$.
Da $a = 0$ und $b=0$, sieht man, dass cuh $c = 0$ und $d = 0$ sein müssen. Der Kern von $T$ ist also \pmat{0 & 0 \\ 0 & 0}. Die Dimension des Kerns ist also 0.
Teilaufgabe iv)
Hier habe ich den Dimensionssatz benutzt:
$ dim(P_4(\IR)) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) $
Wir wissen, dass $ dim(P_4(\IR)) = 5 $ und wir haben berechnet, dass $dim(Ker(T)) = 0$. Aus dem Dimensionssatz folgt dann, dass $dim(Im(T)) = 5$. Da die Dimensionen von $Im(T)$ und $P_4(\IR)$ gleich sind, können wir feststellen, dass $Im(T) = P_4(\IR)$. Da wir weiterhin wissen, dass eine Basis für $P_4(\IR)$ aus den Monomen
$ \{1, x, x^2, x^3, x^4\}$
bestehen kann und dass P_4(\IR) und $Im(T)$ gleich sind, ist $\{1, x, x^2, x^3, x^4\}$ auch eine Basis für $Im(T)$.
Es würde mich freuen, wenn hier jemand drüber schauen und mir praktische Tipps/Hinweise/Verbesserungsvorschläge geben könnte :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 15.10.2014 | | Autor: | MacMath |
i) gut!
ii) Du sollst zeigen, dass die Abbildung NICHT surjektiv ist.
Definitionsbereich und Wertebereich sind [mm] $\mathbb{R}$-Vektorräume. [/mm] Welche Dimension haben sie jeweils?
iii) gut!
iv) Hier stimmt so einiges nicht. Richtig ist, dass die Dimension des Wertebereichs 5 ist. Die Dimension des Kerns ist 0. Daraus folgt aber nicht, dass das Bild die Dimension 5 hat. Dann wäre die Abbildung surjektiv (weil linear).
Ich verweise auf den Denkanstoß bei ii).
Wie bildest du das Monom $x$ im Bild?
Ein leichtes Vorgehen für iv) ist es, wegen $dim(Ker(T))=0$ zu folgern, dass die Bilder einer Basis von [mm] $M_{2x2}(\mathbb{R})$ [/mm] eine Basis des Bildes bilden.
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> i) gut!
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> ii) Du sollst zeigen, dass die Abbildung NICHT surjektiv
> ist.
> Definitionsbereich und Wertebereich sind
> [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorräume. Welche Dimension haben sie
> jeweils?
[mm] $M_{2 \times 2}(\IR)$ [/mm] hat Dimension 4 und [mm] $P_4(\IR)$ [/mm] hat Dimension 5. Jetzt sehe ich aber, dass das Bild von $T$ keinen $x$-Term enthält. Kann ich daraus folgern, dass $dim(Im(T)) = 4$? Denn wenn ich eine Basis für $Im(T)$ finden muss, dann brauche ich ja kein Element für den $x$-Term. Das hieße aber auch, dass $Im(T) [mm] \subset P_4(\IR)$, [/mm] also dass nicht alle Elemente von [mm] P_4(\IR) [/mm] in $Im(T)$ liegen. Somit wird nicht jedes Element des Wertebereichs [mm] P_4(\IR) [/mm] 'erreicht' durch die Transformation.
>
> iii) gut!
>
> iv) Hier stimmt so einiges nicht. Richtig ist, dass die
> Dimension des Wertebereichs 5 ist. Die Dimension des Kerns
> ist 0. Daraus folgt aber nicht, dass das Bild die Dimension
> 5 hat. Dann wäre die Abbildung surjektiv (weil linear).
> Ich verweise auf den Denkanstoß bei ii).
>
> Wie bildest du das Monom [mm]x[/mm] im Bild?
Das kann ich nicht bilden, oder? Es ist immerhin nicht im Bild definiert, d.h. ich kann da nicht drankommen.
>
> Ein leichtes Vorgehen für iv) ist es, wegen [mm]dim(Ker(T))=0[/mm]
> zu folgern, dass die Bilder einer Basis von
> [mm]M_{2x2}(\mathbb{R})[/mm] eine Basis des Bildes bilden.
>
Also [mm] $T(\text{Basis von} M_{2 \times 2}(\IR)) [/mm] = [mm] \text{Basis von Im(T)}$? [/mm] Das wäre dann das Folgende:
$ T [mm] \pmat{1 & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] 1+0x^2+(0-a)x^3+0x^4=1-x^3 [/mm] $
$ T [mm] \pmat{0 &1 \\0&0} [/mm] = [mm] 0+1x^2+0x^3+(0-1)x^4=x^2-x^4$
[/mm]
$ T [mm] \pmat{0&0\\1&0} [/mm] = [mm] 0+0x^2+1x^3+0x^4=x^3$
[/mm]
$ T [mm] \pmat{0&0\\0&1} [/mm] = [mm] 0+0x^2+0x^3+1x^4=x^4$
[/mm]
Wenn es stimmt, dass $dim(Im(T)) = 4$, dann hätte ich in der Tat auch eine vierdimensionale Basis. Nur was hat das dann mit $dim(Ker(T)) = 0$ zu tun? :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Do 16.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > i) gut!
> >
> > ii) Du sollst zeigen, dass die Abbildung NICHT surjektiv
> > ist.
> > Definitionsbereich und Wertebereich sind
> > [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorräume. Welche Dimension haben sie
> > jeweils?
>
> [mm]M_{2 \times 2}(\IR)[/mm] hat Dimension 4 und [mm]P_4(\IR)[/mm] hat
> Dimension 5. Jetzt sehe ich aber, dass das Bild von [mm]T[/mm]
> keinen [mm]x[/mm]-Term enthält. Kann ich daraus folgern, dass
> [mm]dim(Im(T)) = 4[/mm]?
Nein. Zunächst kannst Du nur [mm]dim(Im(T)) < 5[/mm] folgern.
Das reicht ja schon für die Nichtsurjektivität.
> Denn wenn ich eine Basis für [mm]Im(T)[/mm] finden
> muss, dann brauche ich ja kein Element für den [mm]x[/mm]-Term.
> Das hieße aber auch, dass [mm]Im(T) \subset P_4(\IR)[/mm], also
> dass nicht alle Elemente von [mm]P_4(\IR)[/mm] in [mm]Im(T)[/mm] liegen.
> Somit wird nicht jedes Element des Wertebereichs [mm]P_4(\IR)[/mm]
> 'erreicht' durch die Transformation.
>
> >
> > iii) gut!
> >
> > iv) Hier stimmt so einiges nicht. Richtig ist, dass die
> > Dimension des Wertebereichs 5 ist. Die Dimension des Kerns
> > ist 0. Daraus folgt aber nicht, dass das Bild die Dimension
> > 5 hat. Dann wäre die Abbildung surjektiv (weil linear).
> > Ich verweise auf den Denkanstoß bei ii).
> >
> > Wie bildest du das Monom [mm]x[/mm] im Bild?
>
> Das kann ich nicht bilden, oder? Es ist immerhin nicht im
> Bild definiert, d.h. ich kann da nicht drankommen.
Ohne Geschwafel: $x [mm] \notin [/mm] Im(T)$
>
> >
> > Ein leichtes Vorgehen für iv) ist es, wegen [mm]dim(Ker(T))=0[/mm]
> > zu folgern, dass die Bilder einer Basis von
> > [mm]M_{2x2}(\mathbb{R})[/mm] eine Basis des Bildes bilden.
> >
>
> Also [mm]T(\text{Basis von} M_{2 \times 2}(\IR)) = \text{Basis von Im(T)}[/mm]?
"=" ist fehl am Platz !!!
> Das wäre dann das Folgende:
>
> [mm]T \pmat{1 & 0 \\ 0 & 0} = 1+0x^2+(0-a)x^3+0x^4=1-x^3[/mm]
> [mm]T \pmat{0 &1 \\0&0} = 0+1x^2+0x^3+(0-1)x^4=x^2-x^4[/mm]
>
> [mm]T \pmat{0&0\\1&0} = 0+0x^2+1x^3+0x^4=x^3[/mm]
> [mm]T \pmat{0&0\\0&1} = 0+0x^2+0x^3+1x^4=x^4[/mm]
>
> Wenn es stimmt, dass [mm]dim(Im(T)) = 4[/mm], dann hätte ich in der
> Tat auch eine vierdimensionale Basis. Nur was hat das dann
> mit [mm]dim(Ker(T)) = 0[/mm] zu tun? :)
Allgemein gilt:
Seien V und W Vektorräume und
$T:V [mm] \to [/mm] W$ linear und injektiv.
Ist [mm] \{b_1,...,b_m\} [/mm] linear unabhängig in V, so ist [mm] \{T(b_1),...,T(b_m)\} [/mm] linear unabhängig in W.
Zeige das, falls Ihr das nicht hattet.
FRED
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> Liebe Grüße.
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