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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Do 26.01.2006 | | Autor: | milka |
| Aufgabe | Seien V1 & V2 Vektorräume über einem Körper K. Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Abbildungen lineare Abbildungen sind.
1, Sei K definiert als R, V1 =R³, V2=R²
a: R³=>R²
x1
x2 ==> 4 * x3
x3 x2+x3
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Wie muss ich vorangehen? Wie kann ich überhaupt lineare Abbildungen beweisen (v.a. mit Matrizen) Kann mir jemand helfen??Bitte..
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Hallo!
Um zu zeigen, dass eine Abb. [mm] \alpha [/mm] zwischen zwei K-Vektorräumen [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] linear ist, musst du
1. für zwei beliebige Elemente a,b [mm] \in V_1 [/mm] zeigen, dass [mm] (a+b)\alpha=a\alpha+b\alpha [/mm] ist und
2. für ein k aus deinem Körper und einem a aus [mm] V_1 [/mm] gilt: [mm] k(a\alpha)=(ka)\alpha.
[/mm]
In deinem Beispiel gehst du also folgendermaßen vor:
Seien (a,b,c), (a,y,z) [mm] \in \IR^3, [/mm] sei k aus [mm] \IR. [/mm] Dann gilt:
1.) [mm] (a,b,c)\alpha [/mm] + [mm] (x,y,z)\alpha= [/mm] ___________________ [mm] =((a,b,c)+(x,y,z))\alpha
[/mm]
[mm] 2.)k*((a,b,c)\alpha)= [/mm] ______________ [mm] =(k*(a,b,c))\alpha
[/mm]
Du musst jetzt nur noch, wo die Striche sind, die Definitionen deines [mm] \alpha [/mm] hinschreiben und ein wenig umformen, dann bist du fertig.
Für den Fall dass das ganze nicht linear wäre (hier nicht der Fall), müsstest du dir konkrete Elemente aus [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \IR [/mm] suchen, bei denen die erste oder zweite Bedingung nicht erfüllt wird.
Hoffe, das hilft dir erst einmal weiter,
Gruß, San
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