Lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Zeigen Sie, dass es eine Teilmenge B [mm] \subset [/mm] V gibt, welche folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Zu jeder Abbildung f : B [mm] \to [/mm] W in einen K-Vektorraum W gibt es genau eine lineare Abbildung L: V [mm] \to [/mm] W mit [mm] L|_{B} [/mm] = f. |
Hallo, ich hab mal wieder eine Frage.
Ich habe ein Verständnisproblem mit dieser Aufgabe.
Ich hab schon das Problem das ich [mm] L|_{B} [/mm] = f. nicht ganz verstehe.
Könnte mir jmd. die Notation erklären und mir evtl. nen Ansatz für dieser Aufgabe geben.
Vielen Dank!
Charlie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 03.01.2008 | | Autor: | Stoecki |
gesprochen wird die Notation $ [mm] L|_{B} [/mm] $ "L eingeschränkt auf B". Diese Notation bedeutet du hast eine lineare Funktion L die in V startet und nach W abbildet, diese aber jetzt nicht auf ganz V betrachtest, sondern nur auf dem Unterraum B. Du grenzt also einfach nur den Urbildbereich ein. So vom Bauch heraus würde ich sagen, du nimmst an es gäbe zwei solche Abbildungen L und L´ die beide von V nach W gehen und in B genau f sind und dann zeigst du das die gleich sein müssen.
|
|
|
| |
|
Hi!
Also ich hab mir so einige Gedanken gemacht.
Aber : Wie finde ich denn die Abbildung [mm] L|_{B} [/mm] ? bzw. wie sieht die aus?
Also ich dachte erst an die Nullfunktion, aber da hatte ich mich in etwas falsches verrannt.
Könnte mir jmd noch ne Hilfestellung geben....
Vielen Dank im Voraus
Charlie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 07.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst keine spezielle Abbildung finden, sondern das für eine beliebige lineare Abbildung zeigen. Stell dir etwa als f ne Drehstreckung im [mm] R^2 [/mm] vor,dann behauptet der Satz, dass es nur genau eine lin. Abbildung im [mm] R^3 [/mm] gibt, die diese Drehstreckung im [mm] R^2 [/mm] gibt.
(Das ist jetzt nur ein Beispiel, also um den Satz richtig zu begreifen. beweisen musst dus allgemeiner!)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:34 Mo 07.01.2008 | | Autor: | rainman_do |
Hallo,
noch ne kurze Frage, ich hoffe dann ist es endgültig klar. Ich muss doch irgendwie begründen, dass eine solche Abbildung L existiert, also z.B.
Sei f:B [mm] \to [/mm] W beliebig, dann existiert eine Abbildung L: V [mm] \to [/mm] W mit [mm] L|_B [/mm] = f, weil.......tja logisch ist es ja irgendwie, L könnte ja beispielsweise eine "Erweiterung" von f sein, also quasi f mit einem größeren Definitionsbereich, der B enthält....aber wie kann ich das richtig begründen?
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
> Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem
> Körper K. Zeigen Sie, dass es eine Teilmenge B [mm]\subset[/mm] V
> gibt, welche folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
>
> Zu jeder Abbildung f : B [mm]\to[/mm] W in einen K-Vektorraum W gibt
> es genau eine lineare Abbildung L: V [mm]\to[/mm] W mit [mm]L|_{B}[/mm] = f.
Hallo,
Ich möchte die Aufgabenstellung nochmal etwas erklären:
Man hat einen Vektorraum V, und man soll zeigen, daß dieser eine Teilemnge B mit einer bestimmten Eigenschaft enthält, und zwar:
Wenn man eine beliebige Abbildung f hat, die von dieser zu findenden Menge B in einen Vektorraum W geht, so findet man genau eine lineare Funktion L von V nach W, so daß die Einschränkung dieser linearen Funktion auf B die Funktion f ist.
Was gesucht ist, ist also in erster Linie dies Menge B.
Nun überleg' mal, durch was eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt ist: durch die Angabe ihrer Werte auf einer ...
Damit sollte die Aufgabe dann laufen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
