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| Aufgabe | Wir betrachten die Abbildung L: [mm] \IQ^{(2,2)} \to \IQ^{(2,2)}
[/mm]
X [mm] \mapsto [/mm] AX + XA,
wobei die Matrix A [mm] \in \IQ^{(2,2)} [/mm] gegeben sei durch :
A := [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \in \IQ^{(2,2)}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass L eine lineare Abbildung über [mm] \IQ [/mm] ist.
b) Bestimmen Sie eine Basis von Kern L.
c) Bestimmen Sie eine Basis von Bild L. |
Hallo!
Ich hab mal ne Frage zu der obigen Aufgabe.
Also wir haben hier eine Abbildung die eine Matrix auf Summe von 2 Produkten von Matrizen abbildet.
zu a) würd ich sagen dass man recht leicht die homogenität und die additivität nachweist.
Aber wie ist das mit den Basen ?
Wie soll ich das ausrechnen ? Ich kenn nur das Verfahren mit der Darstellungsmatrix (wo man die einheitsmatrix daneben schreibt und in zeilenstufenform bringt).
Könnte mir da jmd sagen wie das geht ?
Vielen Dank !!
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Hallo Charlie1984,
> Wir betrachten die Abbildung L: [mm]\IQ^{(2,2)} \to \IQ^{(2,2)}[/mm]
>
> X [mm]\mapsto[/mm] AX + XA,
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> wobei die Matrix A [mm]\in \IQ^{(2,2)}[/mm] gegeben sei durch :
>
> A := [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 } \in \IQ^{(2,2)}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass L eine lineare Abbildung über [mm]\IQ[/mm] ist.
>
> b) Bestimmen Sie eine Basis von Kern L.
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> c) Bestimmen Sie eine Basis von Bild L.
> Hallo!
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> Ich hab mal ne Frage zu der obigen Aufgabe.
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> Also wir haben hier eine Abbildung die eine Matrix auf
> Summe von 2 Produkten von Matrizen abbildet.
>
> zu a) würd ich sagen dass man recht leicht die homogenität
> und die additivität nachweist.
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> Aber wie ist das mit den Basen ?
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> Wie soll ich das ausrechnen ? Ich kenn nur das Verfahren
> mit der Darstellungsmatrix (wo man die einheitsmatrix
> daneben schreibt und in zeilenstufenform bringt).
>
> Könnte mir da jmd sagen wie das geht ?
1. Die Basis von Kern L:
Da [mm]X \in Q^{\left(2,2\right)}[/mm], löse folgendes Gleichungssystem:
[mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }*\pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }+\pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22}} *\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
2. Die Basis von Bild L
Bilde die Basiselemente von [mm]Q^{\left(2,2\right)}[/mm] ab.
Wähle also die Standardbasis von [mm]Q^{\left(2,2\right)}[/mm]:
[mm]<\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }, \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }>[/mm]
und bilde nacheinander
[mm]f\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\right), f\left(\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\right), f\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\right), f\left(\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 },\right)[/mm]
Stelle hier fest welches System von Bildmatrizen eine Basis bilden, also welches System von Bildmatrizen linear unabhängig ist.
> Vielen Dank !!
>
Gruß
MathePower
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