Lineare Abbildung und Basis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 13.03.2023 | | Autor: | DeePi |
| Aufgabe | Sei L : [mm] \IR^2 [/mm] → [mm] \IR^2 [/mm] definiert durch L((2, 19)) = (1, −1) und L((307, 2) = (1, 1). Kann L eine lineare Abbildung sein? Überprüfen Sie, ob eine Basis B existiert, sodass die darstellende Matrix von L bezüglich B folgendermaßen aussieht:
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Wie ist hier die Vorgehensweise bei solchen Bspen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Di 14.03.2023 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Sei L : [mm]R^2[/mm] → [mm]R^2[/mm] definiert durch L((2, 19)) = (1, −1)
> und L((307, 2) = (1, 1). Kann L eine lineare Abbildung
> sein? Überprüfen Sie, ob eine Basis B existiert, sodass
> die darstellende Matrix von L bezüglich B folgendermaßen
> aussieht:
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> 0 0
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> Wie ist hier die Vorgehensweise bei solchen Bspen?
Das hängt stark vom Vorwissen ab. Lineare Algebra hat einen engen Zusammenhang mit dem Lösen von linearen Gleichungssystemen. Also wäre mein Ansatz, mit Hilfe eines Gleichungssystems zu prüfen, ob es eine 2x2-Matrix gibt, die L in der kanonischen Basis darstellt.
Und im 2. Schritt könnte man ebenso prüfen, ob es eine andere Basis gibt, in der L in der vorgegebenen Matrix dargestellt wird.
Wenn man das so 'zu Fuß' macht, ist das im Grunde Mittelstufenwissen.
Wenn man Erfahrung hat, sind die Antworten auch ohne Rechnung klar: a) ja und b) nein.
Gruß Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Di 14.03.2023 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich lese
"Sei $ L : [mm] R^2 \to R^2 [/mm] $ definiert durch L((2, 19)) = (1, −1) und L((307, 2) = (1, 1)"
bin ich schon sauer auf den Aufgabensteller. Warum ?
Darum: es soll doch $L$ auf ganz $ [mm] \IR^2$ [/mm] definiert sein. Der Aufgabensteller definiert $L$ aber nur in den Punkten (2,19) und (307,2).
Dann wird gefragt: "Kann L eine lineare Abbildung sein?". Diese Frage ist völlig unsinnig !
Die Frage sollte wohl so lauten:
"Kann durch $ L((2, 19)) = (1, -1)$ und $L((307, 2) = (1, 1)$ eine lineare (!) Abbildung $L : [mm] \IR^2 \to \IR^2$ [/mm] definiert werden ?"
Antwort: ja.
Zeige zunächst, dass [mm] $\{(2,19),(307,2)\}$ [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist.
Ist Dir nun klar, wie $L$ auf $ [mm] \IR^2$ [/mm] zu definieren ist ?
Zur zweiten Frage: $L$ ist bijetiv (warum ?).
Die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] ist nicht invertierbar.
Wie lautet nun die Antwort auf die zweite Frage ?
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