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| Aufgabe | Seien f: U [mm] \to [/mm] V, g: V [mm] \to [/mm] W Abbildungen, U, V, W K-Vektorräume. Zeige
a) g [mm] \circ [/mm] f linear, f linear und surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g linear.
b) g [mm] \circ [/mm] f linear, g linear und injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f linear. |
Hallo ihr,
also ich hab bei obiger Aufgabe folgendes Problem, ich bin schon nicht sicher, ob ich die Linearität richtig auflöse und komme deswegen auch nicht weiter, also, wenn g [mm] \circ [/mm] f linear ist, heißt das dann:
(g [mm] \circ [/mm] f) (x+y)=g(x+y) [mm] \circ [/mm] f(x+y)=(g(x)+g(y)) [mm] \circ [/mm] (f(x)+f(y))? Und wenn ja, dann kann ich ja f(x)=y setzten, weil f ja surjektiv ist, aber was hab ich dann davon?
Hoffe mir kann da wer behilflich sein...
Liebe Grüße
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> Seien f: U [mm]\to[/mm] V, g: V [mm]\to[/mm] W Abbildungen, U, V, W
> K-Vektorräume. Zeige
> a) g [mm]\circ[/mm] f linear, f linear und surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g
> linear.
> b) g [mm]\circ[/mm] f linear, g linear und injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f
> linear.
> Hallo ihr,
> also ich hab bei obiger Aufgabe folgendes Problem, ich bin
> schon nicht sicher, ob ich die Linearität richtig auflöse
> und komme deswegen auch nicht weiter, also, wenn g [mm]\circ[/mm] f
> linear ist, heißt das dann:
> (g [mm]\circ[/mm] f) (x+y)=g(x+y) [mm]\circ[/mm] f(x+y)
Diese Umformung ergibt keinen Sinn. x und y sind aus U, g ist nur auf V definiert, mal abgesehen davon, dass g(x+y) bzw. f(x+y) Elemente aus W bzw. V sind und [mm] \circ [/mm] die Verknüpfung von Abbildungen ist!
Um zu zeigen, dass [mm] g\circ{}f [/mm] linear ist musst du zeigen, dass [mm] \forall x,y\in{}U, \lambda\in{}K [/mm] gilt:
1.) [mm] (g\circ{}f)(x+y)=(g\circ{}f)(x)+(g\circ{}f)(y)
[/mm]
2.) [mm] (g\circ{}f)(\lambda\cdot{}x)=\lambda\cdot{}(g\circ{}f)(x)
[/mm]
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Ok, danke schon mal soweit. So, jetzt hab ich ja bei a) gegeben, dass [mm] g\circ [/mm] f linear ist und dass f linear ist, also f(x+y)=f(x)+f(y), und dass f surjektiv ist, also f(x)=y.
Es ist mir schon klar, dass dann auch g linear ist, aber ich weiß einfach nicht, wie ich die drei Bedingungen, die ich da hab unter einen Hut bringen soll ;-(....
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Schau dir noch mal an, was eine lineare Abbildung ist! Es gilt nicht nur f(x+y)=f(x)+f(y).
Außerdem, was meinst du mit f surjektiv, dann gilt f(x)=y.
Das ist nicht die Definition von surjektiv.
f surjektiv [mm] \gdw \forall v\in{}V \exists u\in{}U, [/mm] so dass f(u)=v
Jetzt schreib dir mal auf, was du zeigen musst. Dann müsstest du schon sehen, wie man das zeigen kann.
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Hallo,
also, ich hab mich noch mal konzentriert hingesetzt und es oh Wunder auch alles geschafft, es war ja nicht mal so schwer. Danke schön!!!
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