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| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Bestimmen sie gegebenfalls Basen von Kern und Bild.
a.) R² nach R², (x1,x2) nach (x2-x1, x1-1)
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Hallo Leute,
ich habe grade mit meinem Studium angefangen und komme in dieser neuen Welt irgendwie nicht klar :( Also dass ist Aufgabe 1 von meinem Zettel wobei es mehrere Teilaufgaben gibt wäre aber für einen Denkanstoß sehr dankbar.
Ich weiß dass ich die Bedingungen
I) f(x+y)=f(x)+f(y)
II) f(µx)=µf(x)
zeigen soll, mir ist aber nicht klar wie. Könnt ihr mir bitte die Weise zeigen wie man an sowas rangeht und dass irgendwie erklären.
Ich danke euch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Zuerst mußt du dir klar machen, was diese x und y in f(x+y)=f(x)+f(y) überhaupt sind. Die Vorschrift sagt, es sind Zahlentupel, ich schreibe die mal als Vektor:
[mm] x=\vektor{x_1\\x_2}
[/mm]
[mm] y=\vektor{y_1\\y_2}
[/mm]
[mm] x+y=\vektor{x_1\\x_2}+\vektor{y_1\\y_2}=\vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}
[/mm]
Nun ist die Funktion
[mm] \vektor{a\\b}\mapsto\vektor{b-a\\a-1} [/mm] (Ich habe das mal mit a und b gemacht, damit das nicht so verwirrend ist)
Jetzt bist du dran:
[mm] \vektor{x_1\\x_2}\mapsto?
[/mm]
[mm] \vektor{y_1\\y_2}\mapsto?
[/mm]
[mm] \vektor{x_1+y_1\\x_2+y_2}\mapsto?
[/mm]
Ist die Summe der ersten beiden gleich dem dritten?
Der zweite Teil geht ganz ähnlich. Hier kommt aber ne skalare (einzelne) Zahl ins Spiel:
[mm] \alpha*x=\alpha*\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{\alpha*x_1\\ \alpha*x_2}
[/mm]
Kommst du damit weiter?
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Okay,
also habe ich beim ersten für
[mm] \vektor{x1 \\ x2} \mapsto \vektor{a\\b}
[/mm]
[mm] \vektor{y1\\y2} \mapsto \vektor{b-a\\a-1}
[/mm]
also folgt aus
[mm] \vektor{a\\b} +\vektor{b-a\\a-1}
[/mm]
Summe: [mm] \vektor{b\\b+a-1}
[/mm]
Aus diesem Schluss würde ich sagen es ist nicht linear. Aber ich weiß nicht ob ich das richtig gemacht hab (kriech unter den Tisch)
Danke für die schnelle Antwort
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Hallo!
die a's und b's waren nur Platzhalter für deine x und y.
Es geht so:
[mm]\vektor{x_1 \\ x_2} \mapsto \vektor{x_2-x_1\\x_1-1}[/mm]
[mm]\vektor{y_1 \\ y_2} \mapsto \vektor{y_2-y_1\\y_1-1}[/mm]
[mm]\vektor{x_1+y_1 \\ x_2+y_2} \mapsto \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)-1}[/mm]
Wenn du die Summe des oberen mit dem unteren vergleichst, erhälst du:
[mm] \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)\red{-2}}\neq \vektor{(x_2+y_2)-(x_1+y_1)\\(x_1+y_1)\red{-1}}
[/mm]
Diese -1 wird dir übrigens auch bei dem zweiten Teil einen Strich durch die Rechnung machen.
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Manchmal geht es leichter als man denkt.
Vielen Dank.
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Sorry, kannst du mir das nochmal mit dem zweiten Aufgabenteil zeigen:
Das wäre der Anfang: [mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda [/mm] f(x)
Das würde dann [mm] \vektor{\lambda x1\\\lambda x2} \mapsto \vektor{\lambda x2- \lambda x1 \\ \lambda x1- \lambda 1}
[/mm]
Der zweite Teil der Gleichung wäre dann:
[mm] \lambda \vektor{x1\\x2} \mapsto \lambda \vektor{x2-x1\\x1-1}
[/mm]
Und jetzt?
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Hallo Achilles,
> Sorry, kannst du mir das nochmal mit dem zweiten
> Aufgabenteil zeigen:
>
> Das wäre der Anfang: [mm]f(\lambda[/mm] x) = [mm]\lambda[/mm] f(x)
>
> Das würde dann [mm]\vektor{\lambda x1\\\lambda x2} \mapsto \vektor{\lambda x2- \lambda x1 \\ \lambda x1- \blue{1}}[/mm]
Hier musst du aufpassen !! Schau dir nochmal genau die Abbildungsvorschrift an 
> Der zweite Teil der Gleichung wäre dann:
>
> [mm]\lambda \vektor{x1\\x2} \mapsto \lambda \vektor{x2-x1\\x1-1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=\vektor{\lambda \cdot{}(x_2-x_1)\\\lambda\cdot{}(x_1-1)}=\vektor{\lambda \cdot{}x_2-\lambda\cdot{}x_1\\\lambda\cdot{}x_1-\lambda\cdot{}1}$
[/mm]
Also [mm] $\neq \vektor{\lambda x_2- \lambda x_1 \\ \lambda x_1- \blue{1}}$
[/mm]
>
> Und jetzt?
>
>
LG
schachuzipus
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Liegt das mit der -1 statt dem [mm] -\lambda [/mm] 1 daran, dass ich das Lambda nur dem x zuweisen darf? (Erster Teil der Gleichung)
Beim zweiten multipliziere ich das [mm] \lambda [/mm] ja nur aus.
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Hallo nochmal,
das liegt doch an der Abbildungsvorschrift.
Vllt. wird's klarer, wenn wir das mal etwas umbenennen:
Die Abbildung schickt einen Vektor [mm] $\vektor{z_1\\z_2}$ [/mm] auf [mm] $\vektor{z_2-z_1\\z_1-1}$
[/mm]
Nun, was ist das Bild des Vektors [mm] $\vektor{\lambda x_1\\\lambda x_2}$?
[/mm]
Nennen wir [mm] $\lambda x_1:=z_1$ [/mm] und [mm] $\lambda x_2:=z_2$, [/mm] dann wird der geschickt auf
[mm] $\vektor{z_2-z_1\\z_1-1}=\vektor{(\lambda x_2)-(\lambda x_1)\\(\lambda x_1)-1}=\vektor{\lambda x_2-\lambda x_1\\\lambda x_1-1}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Aufgabe | | [mm] \IR² \mapsto \IR³, \vektor{x1,\\x2} \mapsto \vektor{x2-x1,\\ x1-x2,\\ 0} [/mm] |
Versprochen, meine letzte Frage. Dass hab ich schon verstanden. Ich gehe mal davon aus dass die obenstehende Abbildung genauso gelöst wird oder muss ich da jetzt etwas beachten weil ich auf [mm] \IR³ [/mm] abbilde? Was mich auch irritiert ist, warum steht dass mit der Basis und dem Kern in der Aufgabenstellung?
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Hallo Dario,
> [mm]f:\IR² \mapsto \IR³, \vektor{x1,\\x2} \mapsto \vektor{x2-x1,\\ x1-x2,\\ 0}[/mm]
> Versprochen, meine letzte Frage. Dass hab ich schon
> verstanden. Ich gehe mal davon aus dass die obenstehende
> Abbildung genauso gelöst wird ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") oder muss ich da jetzt etwas
> beachten weil ich auf [mm]\IR³[/mm] abbilde? Was mich auch irritiert
> ist, warum steht dass mit der Basis und dem Kern in der
> Aufgabenstellung?
Das ist ne Zusatzaufgabe
Falls du ne lineare Abb. hast, kannst du deren Kern und Bild bestimmen.
Weißt du, wie?
Hilfreich sind der Dimensionssatz (Bild-Kern-Satz) und das Erstellen einer Abbildungsmatrix (am einfachsten bzgl. der Standardbasen des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] \IR^3).
[/mm]
Wahlweise kannst du den Kern auch direkt berechnen durch Lösen des GS
[mm] $f\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{0\\0\\0}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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