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| Aufgabe | Es seien [mm] a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}; a_{5} \in \IR^{4} [/mm] und [mm] b_{1}; b_{2}; b_{3}; b_{4}; b_{5} \in \IR^{3}
[/mm]
gegeben durch
[mm] a_{1} [/mm] := (1; 1; 0; 0)
[mm] a_{2} [/mm] := (3; 4; 0;-1)
[mm] a_{3} [/mm] := (0; 0; 2; 1)
[mm] a_{4} [/mm] := (0; 1; 2; 0)
[mm] a_{5} [/mm] := (-2; 1; 1; 1)
und
[mm] b_{1} [/mm] := (0; 1; 0)
[mm] b_{2} [/mm] := (1; 1;-1)
[mm] b_{3} [/mm] := (2; 2; 3)
[mm] b_{4} [/mm] := (1;-1;-1)
[mm] b_{5} [/mm] := (1; 6; 4)
Entscheiden Sie im Folgenden jeweils, ob es eine lineare Abbildung L mit den angeforderten Eigenschaften gibt,
und bestimmen Sie in den Fällen, in denen L existiert und eindeutig bestimmt ist, Basen von Bild und Kern von L.
(a) Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] L_{(a1)} [/mm] = [mm] b_{1}, L_{(a2)} [/mm] = [mm] b_{2}, L_{(a3)} [/mm] = [mm] b_{3}, L_{(a4)} [/mm] = [mm] b_{4} [/mm] ?
(b) Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4} [/mm] mit [mm] L_{(b1)} [/mm] = [mm] a_{1}, L_{(b2)} [/mm] = [mm] a_{2}, L_{(b3)} [/mm] = [mm] a_{3} [/mm] ?
(c) Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] L_{(b1)} [/mm] = [mm] a_{1}, L_{(a2)} [/mm] = [mm] b_{4}, L_{(a3)} [/mm] = [mm] b_{5}, L_{(a4)} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] ?
(d) Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{4} [/mm] mit [mm] L_{(a1)} [/mm] = [mm] a_{5}, L_{(a5)} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] ?
(e) Gibt es eine lineare Abbildung L: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] mit [mm] L_{(b1)} [/mm] = [mm] b_{2}, L_{(b2)} [/mm] = [mm] b_{1}, L_{(b3)} [/mm] = [mm] b_{4} [/mm] ?
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Hallo, ich bins mal wieder.
Hab ein Verständnisproblem mit dieser Aufgabe.
Wie kann ich ohne "weiteres" feststellen ob es eine lineare Abbildung ist ?
Für eine Hilfestellung wäre ich dankbar!
Grüße Charlie
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> Es seien [mm]a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}; a_{5} \in \IR^{4}[/mm] und
> [mm]b_{1}; b_{2}; b_{3}; b_{4}; b_{5} \in \IR^{3}[/mm]
> gegeben
> durch
>
> [mm]a_{1}[/mm] := (1; 1; 0; 0)
> [mm]a_{2}[/mm] := (3; 4; 0;-1)
> [mm]a_{3}[/mm] := (0; 0; 2; 1)
> [mm]a_{4}[/mm] := (0; 1; 2; 0)
> [mm]a_{5}[/mm] := (-2; 1; 1; 1)
>
> und
>
> [mm]b_{1}[/mm] := (0; 1; 0)
> [mm]b_{2}[/mm] := (1; 1;-1)
> [mm]b_{3}[/mm] := (2; 2; 3)
> [mm]b_{4}[/mm] := (1;-1;-1)
> [mm]b_{5}[/mm] := (1; 6; 4)
> (a) Gibt es eine lineare Abbildung L: $ [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] $ mit $ [mm] L_{(a1)} [/mm] $ = $ [mm] b_{1}, L_{(a2)} [/mm] $ = $ [mm] b_{2}, L_{(a3)} [/mm] $ = $ [mm] b_{3}, L_{(a4)} [/mm] $ = $ [mm] b_{4} [/mm] $ ?
Hallo,
wenn ich mich nicht verrechnet habe, bilden [mm] (a_1, a_2, a_3, a_4) [/mm] eine Basis des [mm] \IR^4.
[/mm]
Diesen linear unabhängigen Vektoren können beliebige Funktionswerte zugewiesen werden, durch die Angabe der Funktionswerte auf einer Basis ist eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt.
Prüfen müßte man hier nun, ob der [mm] a_5 [/mm] zugewiesene Funktionswert "paßt".
Es ist ja [mm] a_5 [/mm] eine Linearkombinationb v. [mm] (a_1, a_2, a_3, a_4) [/mm] , etwa [mm] a_5=\summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i, [/mm] und Du müßtest nun prüfen, ob für die gegebene Abbildung
[mm] L(a_5)= L(\summe_{i=1}^{4}\lambda_ia_i)=\summe_{i=1}^{4}\lambda_iL(a_5) [/mm] stimmt.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Charlie1984 |
Also meiner Meinung nach sind a1,..,a4 lin. abhängig (hab das mit dem Determinatenrechner im inet auch nochmal geprüft).
Was mache ich denn jetzt wenn sie nicht lin. unabhängig sind.
Ich habe das System wie das nachprüfe noch immer nicht vertanden.
Bitte nochmals um eine Hilfestellung!!
Vielen dank!
Grüße Charlie
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> Also meiner Meinung nach sind a1,..,a4 lin. abhängig (hab
> das mit dem Determinatenrechner im inet auch nochmal
> geprüft).
>
> Was mache ich denn jetzt wenn sie nicht lin. unabhängig
> sind.
Hallo,
Du machst dann für [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] und [mm] a_4 [/mm] das, was ich Dir zuvor für [mm] a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] und [mm] a_5 [/mm] gesagt habe.
> Ich habe das System wie das nachprüfe noch immer nicht
> vertanden.
Ok.
Dann sag' mir mal die Linearkombination, wie also einer der [mm] a_1,..,a_4 [/mm] von den anderen abhängt,
ich habe nämlich keine gr. Lust das selbst zu rechnen und schon gar nicht, das als Spaltenvektoren einzutippen... (ja, ich rate zu Spaltenvektoren, das ist übersichtlicher.)
Wenn Du die "Vorlage" lieferst, zeig' ich Dir, wie es weitergeht.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
bin auch in der Vorlesung und antworte mal für den Kollegen....
Also ich stelle z.B. den Vektor [mm] a_4 [/mm] als Lin.kombi der [mm] a_1,a_2,a_3 [/mm] dar
[mm] xa_1 [/mm] + [mm] ya_2 [/mm] + [mm] za_3 [/mm] = [mm] a_4
[/mm]
[mm] x\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] y\vektor{3 \\ 4 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] z\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = -3, y = 1, z = 1
Aber ich verstehe ehrlich gesagt auch nicht wie es jetzt weiter gehen soll...
Vielen Dank
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Hallo,
zunächst einmal muß man wissen, daß man linear unabhängigen Vektoren beliebige Funktionswerte (natürlich innerhalb des Wertebereiches!) zuweisen kann.
Es können
[mm] L(a_1):= b_{1}, L(a_2):= b_{2}, L(a_3):=b_{3} [/mm]
also überhaupt keine Schwierigkeiten verursachen.
Es liegt nun aber im Wesen der linearen Abbildungen (Linearitätsbedingung),
daß [mm] L(a_4) [/mm] zu den vorher definierten Werten passen muß.
Es ist also [mm] a_4=-3a_1+1*a_2+1*a_3
[/mm]
Wegen der geforderten Linearität der Abb. muß sein:
[mm] L(a_4)=L(-3a_1+1*a_2+1*a_3)=-3L(a_1)+1*L(a_3)+L(a_3)
[/mm]
[mm] =-3b_1 +1*b_2+1*b_3=-3\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } +1*\vektor{1 \\ 1 \\ -1 }+1*\vektor{2 \\ 2 \\ 3 }=\vektor{3 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
Der Vektor, welcher in Aufg. a) jedoch [mm] L(a_4) [/mm] ist, ist [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1 }, [/mm] also ein anderer, welcher die Linearitätsbedingung verletzt. Also kann es solch eine lineare Abb. wie in a) nicht geben.
Ich hoffe, daß das Prinzip klargeworden ist, selbst, falls irgendwo Tipp- oder Rechenfehler sind - ich bin etwas in Eile im Moment.
Gruß v. Angela
> Also ich stelle z.B. den Vektor [mm]a_4[/mm] als Lin.kombi der
> [mm]a_1,a_2,a_3[/mm] dar
>
> [mm]xa_1[/mm] + [mm]ya_2[/mm] + [mm]za_3[/mm] = [mm]a_4[/mm]
>
> [mm]x\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]y\vektor{3 \\ 4 \\ 0 \\ -1}[/mm] +
> [mm]z\vektor{0 \\ 0 \\ 2 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 2 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = -3, y = 1, z = 1
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Hallo,
danke für die Antwort. Also das Prinzip ist klar geworden. hab aber noch eine Frage zu Aufgabe b): Da sind [mm] b_1, b_2, b_3 [/mm] linear unabhängig und die sollen auf [mm] a_1, a_2, a_3 [/mm] abgebildet werden. Muss ich hier jetzt auch noch nachprüfen, was passiert wenn ich [mm] b_4 [/mm] und [mm] b_5 [/mm] abbilde, obwohl die in der Aufgabe gar nicht erwähnt sind? Du hattest ja ganz oben geschrieben, dass ich bei Aufgabe a) auch nachprüfen müsste ob [mm] L(a_5) [/mm] = [mm] b_5 [/mm] ergibt, obwohl das nicht in der Aufgabe stand.
Dann noch eine Frage zur Berechnung einer Basis von Kern und Bild, also ich hab mir gedacht, ich suche mir die Darstellungsmatrix, z.B. in Aufg. b) mit
[mm] \pmat{a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l} \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \pmat{a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l} \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0 \\ -1} [/mm] usw.
..., erhalte ein LGS und somit die Darstellungsmatrix und berechne dann eine Basis von Kern L und von Bild L. Ist das so richtig, oder gibt es da auch eine einfachere Möglichkeit?
Vielen Dank schonmal
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> Hallo,
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> danke für die Antwort. Also das Prinzip ist klar geworden.
> hab aber noch eine Frage zu Aufgabe b): Da sind [mm]b_1, b_2, b_3[/mm]
> linear unabhängig und die sollen auf [mm]a_1, a_2, a_3[/mm]
> abgebildet werden. Muss ich hier jetzt auch noch
> nachprüfen, was passiert wenn ich [mm]b_4[/mm] und [mm]b_5[/mm] abbilde,
> obwohl die in der Aufgabe gar nicht erwähnt sind?
Hallo,
nein, das ist nicht Bestandteil der Fragestellung.
> Du
> hattest ja ganz oben geschrieben, dass ich bei Aufgabe a)
> auch nachprüfen müsste ob [mm]L(a_5)[/mm] = [mm]b_5[/mm] ergibt, obwohl das
> nicht in der Aufgabe stand.
Nein, nein, da hast Du falsch verstanden.
Ich war ja von der Unabhängigkeit der ersten 4 [mm] a_i [/mm] ausgegangen und wollte nur verdeutlichen, was man im Fall eines anhängigen Vektors prüfen müßte.
> Dann noch eine Frage zur Berechnung einer Basis von Kern
> und Bild, also ich hab mir gedacht, ich suche mir die
> Darstellungsmatrix, z.B. in Aufg. b) mit
Wenn ich Dich recht verstehe, willst Du die darstellende Matrix bzgl der Einheitsbasis aufstellen, und dann Kern und Bild ermitteln.
Das ist auf jeden Fall ein Weg, der funktioniert - er ist allerdings etwas lästig.
Du kannst es so machen:
stecke die Bilder als Spalten in eine Matrix, bringe sie in Zeilenstufenform, an dieser kannst Du dann eine Basis des Bildes ablesen. (Falls Du nicht weißt, wie das geht, schau Dich zunächst etwas im Forum um. Es gibt viele Bild-Kern-Aufgaben, wo das erklärt ist.)
Dann bestimmst Du mit dieser Matrix den Kern, auch das ist z.B. im Forum erklärt.
Bei der Interpretation dessen, was Du hier erhältst, mußt Du allerdings wachsam sein: die Matrix, mit der Du hier arbeitest ist nicht die bzgl der beiden Standardbasen, sondern die in die man Vektoren in Koordinaten bzgl [mm] (a_1, a_2, a_3, a_4) [/mm] steckt!
Wenn ich das, was ich gerade gesagt habe, für Aufgabe a) tue, bekomme ich, daß
[mm] \vektor{2 \\ -1\\0\\1} [/mm] eine Basis des Kerns ist (Rechenfehler nicht ausgeschlossen) - ich muß aber bedenken: die Koordinaten diese errechneten Vektors sind bzgl der Basis [mm] A:=(a_1, a_2, a_3, a_4),
[/mm]
also sollte ich für ausgerechneten Vektor besser schreiben:
[mm] \vektor{2 \\ -1\\0\\1}_A, [/mm] also habe ich
[mm] \vektor{2 \\ -1\\0\\1}_A=2*a_1-1*a_2+0*a_3+1*a_4= [/mm] ... und damit habe ich ihn dann in Standardkoordinaten.
Gruß v. Angela
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