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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Mo 17.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo Leute,
ich hab mal eine Frage bzgl. eines beweises.
Aufgabe:
Sei K ein Koerper und seien V, W isomorphe K Vektorraeume. Weiter seien f: V [mm] \to [/mm] W lienar. Man soll zeigen, es existiert ein Vektorraum U und lineare Abbildungen g: V [mm] \to [/mm] U, h: U [mm] \to [/mm] W mit
i) g ist surjektiv
ii) h ist surjektiv
iii) f= h [mm] \circ [/mm] g
Muss ich hier fuer den Vektrorraum die 8 Eigenschaften nachweisen? oder soll ich hier nur i) bis iii) beweisen? g ist doch ein Epimorphismus , h ein Monomorphismus und f = h [mm] \circ [/mm] g ein Isomorphismus oder?
Ich weiss nicht, wie ich bei dem beweis anfangen soll. Darum kann ich leider auch keinen richitgen Loesungsansatz angeben. ich hoffe, es kann mir jemand einen kleinen Tipp geben, wie ich vorgehen soll.
Muss ich die Injektivitaet ueber den kern(h) beweisen?
Danke,
VHN
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Hallo.
Am besten wäre es wahrscheinlich, einen konkreten Vektorraum anzugeben.
Du mußt dann zeigen: g und h sind linear und erfüllen die Eigenschaften 1-3. Die Vektorraumaxiome für den Vektorraum U folgen dann alle daraus, daß g surjektiv ist, d.h g(V) = U , und von g(V) wissen wir, daß es ein linearer Unterraum ist.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Mo 17.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Hanno!
Danke für deine Antwort.
Kannst du mir aber weiterhelfen, bitte? Ich weiß nämlich nicht genau, wie ich einen konkreten Vektorraum angeben soll? Ich meine, wie soll er denn lauten?
Kann ich einfach sagen, dass g und h linear sind, weil f linear ist, also muss auch die Komposition, aus der f folgt, linear sein?
Ich verstehe nicht ganz, warum alle Vektorraumaxiome für U einfach daraus folgen, weil g surjektiv ist.
Und woher weiß ich g(V) ein linearer Unterraum ist?
Es tut mir leid für die vielen Fragen. Aber ich weiß nicht genau, wie ich die Aufgabe anpacken soll. Ich bitte um Tipps!
Vielen Dank! 
Ciao!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 Mo 17.01.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beispiel V = [mm] R^{n} [/mm] W eine Hyperebene, U eine andere.
oder wähle U =W g=f h=Identität, dann ist die frage so wie sie gestellt ist beantwortet. wahrscheinlichist sie nicht so gemeint, aber in deiner Aufgabe steht nicht U [mm] \not= [/mm] W!
Gruss leduart
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