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| Aufgabe | Welche der Abbildungen sind linear:
a) f: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^2 [/mm] , f(x,y,z) = [mm] (3x-7y+z,x+z)^T
[/mm]
b) f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3 [/mm] , f(x,y) = [mm] (x+1,2y,x+y)^T
[/mm]
c) f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] , f(x,y) = x*y |
Ich weiß das folgende bedingungen erfüllt sein müssen:
1.) f(x+y) = f(x) + f(y)
2.) f(c*x) = c*f(x)
oder f(c*x+d*y) = c*f(x) + d*f(y)
außerdem gilt für jede lineare abbildung f(0) = 0
ich habe jetzt mal die letzte bedingung auf die funktionen angewendet:
daraus folgt:
a) f(0,0,0) = (0,0) -> damit hätten wir hier eine l. abbildung
b) f(0,0) = (1,0,0) -> keine l. abbildung
c) f(0,0) = 0 -> eigtl. auch eine l. abbildung ( aus der musterlösung geht jedoch hervor dass es sich hierbei um keine lineare abbildung handelt !
hierzu direkt meine erste frage: wann kann ich dieses kriterium f(0)=0 anwenden und wann nicht.
ich weiß ausserdem nicht wie ich auf diese abbildungen die 1. und 2. bedingung zur überprüfung anwende.
könnte mir das vllt. jemand an den oben genannten beispielen erklären;
vielen dank im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Welche der Abbildungen sind linear:
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> a) f: [mm]\IR^3[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm] , f(x,y,z) = [mm](3x-7y+z,x+z)^T[/mm]
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> b) f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3[/mm] , f(x,y) = [mm](x+1,2y,x+y)^T[/mm]
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> c) f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] , f(x,y) = x*y
> Ich weiß das folgende bedingungen erfüllt sein müssen:
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> 1.) f(x+y) = f(x) + f(y)
> 2.) f(c*x) = c*f(x)
>
> oder f(c*x+d*y) = c*f(x) + d*f(y)
>
> außerdem gilt für jede lineare abbildung f(0) = 0
>
> ich habe jetzt mal die letzte bedingung auf die funktionen
> angewendet:
> daraus folgt:
>
> a) f(0,0,0) = (0,0) -> damit hätten wir hier eine l.
> abbildung
Das kannst Du noch nicht sagen ! Du Eigenschaften 1.) und 2.) hast Du noch nicht geprüft !
> b) f(0,0) = (1,0,0) -> keine l. abbildung
Ja
> c) f(0,0) = 0 -> eigtl. auch eine l. abbildung ( aus der
> musterlösung geht jedoch hervor dass es sich hierbei um
> keine lineare abbildung handelt !
Es ist z.B. f(1,1)=1, und f(2,2)=4, aber
4=f(2,2)=f(2*(1,1)) [mm] \ne [/mm] 2=2f(1,1)
Damit ist f nicht linear.
>
> hierzu direkt meine erste frage: wann kann ich dieses
> kriterium f(0)=0 anwenden und wann nicht.
Wenn f(0) [mm] \ne [/mm] 0 ist, so ist f mit Sicherheit nicht linear.
Ist aber f(0)=0, so kann f linear sein, muß aber nicht.
>
> ich weiß ausserdem nicht wie ich auf diese abbildungen die
> 1. und 2. bedingung zur überprüfung anwende.
> könnte mir das vllt. jemand an den oben genannten
> beispielen erklären;
Berechne f(a+b) und f(a)+f(b)
Gilt f(a+b)=f(a)+f(b) ?
Wenn nein, so ist f nicht linear.
Wenn ja, berechne f(t*a) und tf(a).
Stimmen die beiden überein oder nicht ?
FRED
>
> vielen dank im voraus
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4 = f(2,2) = f(2*(1,1)) [mm] \not= [/mm] 2 = 2f(1,1)
den schritt verstehe ich nicht.
Warum setzt man überhaupt andere werte ein ? wenn man die bedingung f(0) = 0 hat ?
zur überprüfung der bedinungen:
ich weiß ja, dass ich f(x+y) = f(x) + f(y)
und f(cx) = c*f(x) überprüfen muss.
bei folgender funktion wäre das auch kein problem:
bsp.
f(x) =3x
1. f(x+y) = f(x)+f(y)
-> 3*(x+y) = 3x +3y
-> 3x + 3y = 3x + 3y
2. c*f(x) = f*(cx)
-> c*3x = 3*(cx)
-> c*3x = c*3x
damit hätten wir eine l. abbildung
wie wende ich es nun an, wenn ich f(x,y,z) habe ?
wie in bsp a) f(x,y,z) = (3x - 7y +z, x + z)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mo 11.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> 4 = f(2,2) = f(2*(1,1)) [mm]\not=[/mm] 2 = 2f(1,1)
>
> den schritt verstehe ich nicht.
Mit einem Beispiel wird gezeigt, dass die Linearität nicht gegeben ist.
> Warum setzt man überhaupt andere werte ein ? wenn man die
> bedingung f(0) = 0 hat ?
Da hast Du etwas ganz grundsätzliches nicht verstanden. f(x)= sin(x) erfüllt auch die Bedingung f(0)=0 und ist so etwas von nichtlinear. Es muss f(c*x+d*y) = c*f(x) + d*f(y) dür alle c,d,x,y erfüllt sein.
Wenn diese Bedingung für ein c oder ein d oder ein y oder ein x nicht erfüllt ist, dann ist es schon vorbei mit der Linearität und deshalb muss nichts weiter untersucht werden.
Also falls für c = 0 nicht f(0)=0 herauskommt, dann ist klar, dass die Funktion nicht linear ist.
Falls f(0)=0 gilt, dann musst Du immer noch für alle anderen c, d, x, y zeigen, dass die Linearitätsbedinung gilt.
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> ...>
> wie wende ich es nun an, wenn ich f(x,y,z) habe ?
>
> wie in bsp a) f(x,y,z) = (3x - 7y +z, x + z)
Hier bekommst Du Probleme, weil die Linearitätsdefinition so unsauber aufgeschrieben ist. Auch musst Du genau darauf achten, was jeweils mit x, y und z gemeint ist. Ich formuliere mal um:
a) $f(x) = [mm] f(x_1, x_2, x_3) [/mm] = [mm] (3x_1 -7x_2+x_3, x_1+x_3)$ [/mm] also ist $x [mm] \in \IR^3$. [/mm] Nun nimm ein $y [mm] \in \IR^3$ [/mm] und zeige, dass f(c*x+d*y) = c*f(x) + d*f(y).
Dazu musst Du beide Seiten ausrechnen und nachsehen, ob da am Ende das Gleiche steht.
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ich hoffe ich bin nun ein stück weitergekommen.
folgendes:
f(x,y) = (x+1,2y,x+y)
f [mm] \vektor{x\\y} [/mm] = [mm] \vektor{x+1\\2y\\x+y}
[/mm]
f(x+y) = [mm] \vektor{x+y+1\\2*(x+y)\\x+y+x+y} [/mm]
f(x) = [mm] \vektor{x+1\\2x\\x+x}
[/mm]
f(y) = [mm] \vektor{y+1\\2y\\y+y}
[/mm]
f(x+y) [mm] \not= [/mm] f(x)+f(y) , da in der ersten zeile x+y+1 ungleich x+y+2 ist.
kann mir jemand sagen, ob ich das bis hierhin richtig verstanden habe ?
wenn ich nun f(x,y) gegeben habe und f(x+y) berechnen möchte muss ich für jede variable (x+y) ersetzen ?
bei f(x) entsprechend jede von x verschiedene variable durch x ersetzen ?
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Hallo VanDamme90,
> ich hoffe ich bin nun ein stück weitergekommen.
>
> folgendes:
>
> f(x,y) = (x+1,2y,x+y)
>
> f [mm]\vektor{x\\
y}[/mm] = [mm]\vektor{x+1\\
2y\\
x+y}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f(x+y) = [mm]\vektor{x+y+1\\
2*(x+y)\\
x+y+x+y}[/mm]
Was ist das für ein Argument x+y, das du da in f reinstopfst?
Das sind doch Vektoren!
Also [mm]x=\vektor{x_1\\
x_2}[/mm] und [mm]y=\vektor{y_1\\
y_2}[/mm]
Dann ist [mm]f\left(x+y\right)=f\left(\vektor{x_1+y_1\\
x_2+y_2}\right)=\vektor{(x_1+y_1)+1\\
2(x_2+y_2)\\
(x_1+y_1)+(x_2+y_2)}[/mm]
Nun rechne nach, ob das [mm]=f\left(\vektor{x_1\\
x_2}\right)+f\left(\vektor{y_1\\
y_2}\right)[/mm] ist ...
>
> f(x) = [mm]\vektor{x+1\\
2x\\
x+x}[/mm]
> f(y) = [mm]\vektor{y+1\\
2y\\
y+y}[/mm]
>
> f(x+y) [mm]\not=[/mm] f(x)+f(y) , da in der ersten zeile x+y+1
> ungleich x+y+2 ist.
>
> kann mir jemand sagen, ob ich das bis hierhin richtig
> verstanden habe ?
Das ist im Prinzip richtig, aber du haust Zahlen und Vektoren durcheinander ...
Fazit: f nicht linear!
> wenn ich nun f(x,y) gegeben habe und f(x+y) berechnen
> möchte muss ich für jede variable (x+y) ersetzen ?
> bei f(x) entsprechend jede von x verschiedene variable
> durch x ersetzen ?
Das sind Vektoren, die x und y!! Siehe oben
Gruß
schachuzipus
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