Lineare Abhängigkeit < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Shubi |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung:
Seien A1, ..., Am linear abhängig und Bm = [mm] \summe_{j=1}^{m} [/mm] Aj .
Dann sind auch je m der Vektoren A1, ..,Am,Bm linear abhängig. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wieso sind dann nur m Vektoren linear abhängig? Ich habe das mal mit ein paar Beispielvektoren aus dem R³ probiert und erhalte stets, da B ja linear abhängig zu den ggb. Vektoren ist, dass alle Vektoren linear abhängig sind, also m+1 ... oder nicht?
Zudem ist ja nach einem Beweis gefragt. Dabei fehlt mir jeder Ansatz. Wie soll ich denn da rangehen?
Freue mich über jede Hilfestellung / jeden Tipp.
MfG
Shubi
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Hallo Schubi,
> Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptung:
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> Seien A1, ..., Am linear abhängig und Bm = [mm]\summe_{j=1}^{m}[/mm]
> Aj .
> Dann sind auch je m der Vektoren A1, ..,Am,Bm linear
> abhängig.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wieso sind dann nur m Vektoren linear abhängig? Ich habe
> das mal mit ein paar Beispielvektoren aus dem R³ probiert
> und erhalte stets, da B ja linear abhängig zu den ggb.
> Vektoren ist, dass alle Vektoren linear abhängig sind, also
> m+1 ... oder nicht?
>
> Zudem ist ja nach einem Beweis gefragt. Dabei fehlt mir
> jeder Ansatz. Wie soll ich denn da rangehen?
Wie könnte man denn die übrigen Auswahlmöglichkeiten von m Vektoren aus [mm] ${a_1,\ldots,a_m, b_m}$ [/mm] erhalten?
Versuch doch mal zu beweisen, daß [mm] $a_1, \ldots, a_{m-1}, b_m$ [/mm] linear abhängig sind.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mo 29.01.2007 | | Autor: | Shubi |
| Aufgabe | | Wie fange ich denn nun so einen Beweis an? |
Leider hilft mir dein Hinweis garnicht. Ich weiss leider nicht,
wie ich da mit dem Beweis anfangen soll. Somit kann ich es
auch nicht für einen Vektor weniger zeigen. :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 Mo 29.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Wie fange ich denn nun so einen Beweis an?
> Leider hilft mir dein Hinweis garnicht. Ich weiss leider
> nicht,
> wie ich da mit dem Beweis anfangen soll. Somit kann ich
> es
> auch nicht für einen Vektor weniger zeigen. :(
wieso hilft dir das nicht?
es gibt doch nur 2 möglichkeiten
1) alle m [mm] A_i [/mm] , die sind aber lt. voraussetzung l.a.
oder
2) m-1 Ai + B, wobei B lt. voraussetzung eine linearkombination der [mm] A_i [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:10 Di 30.01.2007 | | Autor: | Shubi |
Erstmal danke für die Antworten :)
Also, dass was du schreibst Riwe habe ich schon verstanden,
dass das die beiden Möglichkeiten für m Vektoren sind, die
dann linear abhängig sind.
Aber die Frage ist doch, wie ich beweise, dass diese linear
abhängig sind. Oder reicht es einfach hinzuschreiben:
Die m Ai sind laut Vorraussetzung linear abhängig und
A1..Am-1 mit Bm sind linear abhängig da Bm aus der
Summe aller A gebildet wird? Das wäre doch zu einfach...oder?
Gruß, Shubi
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> Oder reicht es einfach hinzuschreiben:
> Die m Ai sind laut Vorraussetzung linear abhängig und
> A1..Am-1 mit Bm sind linear abhängig da Bm aus der
> Summe aller A gebildet wird? Das wäre doch zu
> einfach...oder?
Hallo,
daß es einfach wäre, wäre noch kein Hinderunggrund, Gutes ist oft einfach - im Leben, meine ich...
Was schlimmer ist: es würde nicht überzeugen.
Da nach Voraussetzung [mm] (A_1,...A_m) [/mm] linear abhängig, gibt es doch [mm] c_i, [/mm] die nicht alle =0 sind, und für die gilt:
[mm] 0=c_1A_1+...+c_mA_m.
[/mm]
Jetzt nimm Dir die m-1 Vektoren [mm] A_1,...A_{m-1} [/mm] zusammen mit B, und Koeffizienten [mm] a_1,...a_{m-1}, [/mm] b und bilde die Summe
[mm] a_1A_1+a_2A_2+...+a_{m-1}A_{m-1}+bB.
[/mm]
Nun überlge Dir, ob und wie es eine Möglichkeit gibt, die [mm] a_i, [/mm] b so zu wählen, daß obige Summe =0 ist, ohne daß alle Koeffizienten =0 sind.
Wenn Dir das gelungen ist, hast Du die Abhängigkeit gezeigt.
Gruß v. Angela
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