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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 So 02.07.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | | Sind die drei Vektoren [m] v1 = \vektor{1 \\ 2 \\1}, v2 = \vektor{-3 \\1\\4}, v3 = \vektor{1 \\ 1 \\1} [/m] des [mm] \IR^3 [/mm] linear unabhängig? |
Bitte über meine Rechnung drüber gucken und mir mir sagen ob ich alles richtig gemacht habe.
[mm] \vec{v1} = \mu*\vec{v2}+ \delta* \vec{v3} [/mm]
[mm] \vec{v2} = \lambda*\vec{v1}+ \delta* \vec{v3} [/mm]
[mm] \vec{v3} = \lambda*\vec{v1}+ \mu* \vec{v2} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\1} = \mu*\vektor{-3 \\ 1 \\4}+ \delta* \vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm]
[mm] 1 = -3\mu+\delta [/mm] [mm] \Rightarrow 1+3\mu=\delta [/mm]
[mm] 2 = 1\mu+\delta [/mm]
[mm] 1 = 4\mu+\delta [/mm]
[mm] 2 = -3\mu+1+3\mu [/mm]
[mm] 1=4mu [/mm] [mm]|/4[/mm]
[mm] 1=4\mu [/mm]
[mm] \bruch{1}{4}=\mu [/mm]
[mm] 1+\bruch{3}{4}=\delta [/mm]
[mm] \bruch{1}{3}{4}=\delta [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\1}=\vektor{-\bruch{3}{4} \\ \bruch{1}{4} \\1} + \vektor{\bruch{1}{3}{4} \\ \bruch{1}{3}{4} \\ \bruch{1}{3}{4}} [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\1} =\vektor{1 \\ 2 \\\bruch{1}{3}{4}} [/mm]
[mm] \vektor{-3 \\ 1 \\4} = \lambda*\vektor{1 \\ 2 \\1}+ \delta* \vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm]
[mm] -3 = -\lambda+\delta [/mm]
[mm] 1 = 2\lambda+\delta [/mm]
[mm] 4 = \lambdau+\delta [/mm] [mm] \Rightarrow 4-\delta=\lambda [/mm]
[mm] 4=\lambda-3 [/mm]
nicht lösbar
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\1} = \lambda*\vektor{1 \\ 2 \\1}+ \mu* \vektor{-3 \\ 1 \\4} [/mm]
[mm] -3 = \lambda-3\mu [/mm]
[mm] 1 = 2\lambda+\mu [/mm]
[mm] 4 = \lambda+4\mu [/mm] [mm] \Rightarrow 1-\mu=\lambda [/mm]
[mm] 1=1-4/mu-3/mu [/mm]
[mm] 0=-7/mu [/mm] [mm] |:-7[/mm]
[mm] 0=/mu [/mm]
[mm] \lambda =1 [/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\1} = \vektor{1 \\ 2 \\1} [/mm]
Die Vektoren sind linear Unabhängig.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 So 02.07.2006 | | Autor: | shark4 |
erstmal zu diesen beiden zeilen:
> [mm] 2 = -3\mu+1+3\mu [/mm]
> [mm] 1=4mu [/mm] [mm]|/4[/mm]
die obere ist doch garnicht lösbar den [mm] 2 = -3\mu+1+3\mu = 1 [/mm] und wie kommst du von [mm] 1 = 4\mu+\delta [/mm] auf [mm] 1=4mu [/mm] ?
die zweite und dritte rechnung versteh ich garnicht, da hast du schon alleine ein paar unvollständige bzw. fehlerhafte zeilen.
ich an deiner stelle würde so vorgehen:
sollten [mm]v_1, v_2 \mbox{ und } v_3[/mm] linear unabhängig sein so hat
die gleichung [mm]r \cdot v_1 + s \cdot v_2 + t \cdot v_3 = \vec{0}[/mm] nur eine lösung hat und zwar die triviale, d.h [mm]r=s=t=0[/mm].
[mm]r \cdot v_1 + s \cdot v_2 + t \cdot v_3 = \vec{0}[/mm] kann man ja auch so schreiben:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & -3 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & 4 & 1
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
wenn man dann von der zweiten zeile zweimal die erste und von der dritten zeile einmal die erste subtrahiert kommt man darauf:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & -3 & 1 \\
0 & 5 & -1 \\
0 & 7 & 0
\end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
nun sieht man eigentlich sofort das nur die triviale lösung existiert, denn laut der dritten zeile ist 7s=0 also auch s=0, in der zweiten zeile folgt mit s=0 auch t=0 und dann ist auch noch in der ersten zeile zu erkennen, dass r=0 sein muss.
folglich sind die drei vektoren linear unabhängig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mi 05.07.2006 | | Autor: | Dally |
Sry das ich mich so spät bedanke. Ich weiß auch nicht was cih da oben gerechnet habe :-(. Danke für deinen Tipp.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Do 06.07.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Ich sorge mal dafür, dass der Artikel beantwortet ist ;)
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