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Lineare DGL I Ord.: alternativer Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 Fr 10.06.2011
Autor: Jaw

Aufgabe
Gegeben ist die lineare Differentialgleichung erster Ordnung

y'- [mm] \bruch{2x}{2+x^2}y=2+x^2. [/mm]

Bestimmen Sie diejenige Lösung, die der Anfangsbedingung y (0) = 6 genügt!

Hinweise:

• In einem Fall ist eine Integration mittels Substitution erforderlich!

• Für eine Lösung ohne Verwendung der betreffenden Lösungsformel werden 2 Zusatzpunkte
vergeben.

Grüße !

Mit den Formeln :

y'(x)+p(x)y(x)=q(x)

und

y(x)= [mm] [\integral_{}^{}{q(x) e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}} dx +C}] e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx +C}} [/mm]

Konnte ich bereits auf [mm] y(x)=(x+C)*(2+x^2) [/mm] als allgemeine Loesung kommen.
(Habe dabei  durch die Substitution [mm] u=2+x^2 [/mm] den Ausdruck [mm] \integral_{}^{}{p(x) dx= -Ln\{2+x^2\}} [/mm] erhalten, was sich sehr schön mit den Exponentialfunktionen der Lösungsformel verträgt)
Und wenn ich nicht sehr irre bedeutet die Bedingung y(0)=6 das [mm] 6=(0+C)*(2+0^2) [/mm] sei und somit C=3 ist.

Gut soweit? (Habe mit Wolframalpha getestet, ist denke ich richtig)

Ich würde mich über einen Denkanstoß bezüglich der 2 Zusatzpunkte- einen alternativen Lösungsweg zur verwendeten Lösungsformel - freuen.


Danke und schönes (langes) Wochenende!

Jann

(Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)

        
Bezug
Lineare DGL I Ord.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 Fr 10.06.2011
Autor: fencheltee


> Gegeben ist die lineare Differentialgleichung erster
> Ordnung
>  
> y'- [mm]\bruch{2x}{2+x^2}y=2+x^2.[/mm]
>  
> Bestimmen Sie diejenige Lösung, die der Anfangsbedingung y
> (0) = 6 genügt!
>  
> Hinweise:
>  
> • In einem Fall ist eine Integration mittels Substitution
> erforderlich!
>  
> • Für eine Lösung ohne Verwendung der betreffenden
> Lösungsformel werden 2 Zusatzpunkte
>  vergeben.
>  Grüße !
>  
> Mit den Formeln :
>  
> y'(x)+p(x)y(x)=q(x)
>
> und
>  
> y(x)= [mm][\integral_{}^{}{q(x) e^{\integral_{}^{}{p(x) dx}} dx +C}] e^{-\integral_{}^{}{p(x) dx +C}}[/mm]
>  
> Konnte ich bereits auf [mm]y(x)=(x+C)*(2+x^2)[/mm] als allgemeine
> Loesung kommen.
>  (Habe dabei  durch die Substitution [mm]u=2+x^2[/mm] den Ausdruck
> [mm]\integral_{}^{}{p(x) dx= -Ln\{2+x^2\}}[/mm] erhalten, was sich
> sehr schön mit den Exponentialfunktionen der
> Lösungsformel verträgt)
>  Und wenn ich nicht sehr irre bedeutet die Bedingung y(0)=6
> das [mm]6=(0+C)*(2+0^2)[/mm] sei und somit C=3 ist.
>
> Gut soweit? (Habe mit Wolframalpha getestet, ist denke ich
> richtig)
>  
> Ich würde mich über einen Denkanstoß bezüglich der 2
> Zusatzpunkte- einen alternativen Lösungsweg zur
> verwendeten Lösungsformel - freuen.
>  
>
> Danke und schönes (langes) Wochenende!
>  
> Jann
>  
> (Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt)

hallo, deine lösung ist richtig
alternativ würde ich folgenden weg nicht nennen, denn durch ihn wurde die allgemeine lösungsformel ja entwickelt.
aber sie geht halt über die lösung der homogenen dgl und anschließender variation der konstanten

starte also mit
[mm] y'-\bruch{2x}{2+x^2}y=0 [/mm]

gruß tee

Bezug
                
Bezug
Lineare DGL I Ord.: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:14 Sa 11.06.2011
Autor: Jaw

Mit der variation der Konstanten bin ich klargekommen =)
besten Dank!
Jann

Bezug
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